La mappa coincide con i sensori: conosce davvero il terreno fra un punto e l’altro?

Una superficie colorata non è una nuova misura

Un’impresa agricola dispone di pochi sensori di umidità e vuole trasformarli in una mappa da usare come ingresso di un sistema AI. Il software riempie gli spazi e la mappa coincide esattamente con i valori ai sensori. Possiamo fidarci anche nella zona più lontana dai punti misurati? Questa è la domanda dell’articolo. Studieremo una linea di terreno sintetica, spiegheremo l’interpolazione a distanza inversa e costruiremo due campi diversi che producono le stesse letture. Il percorso serve a distinguere una ricostruzione numerica da una conoscenza verificata del territorio.

Abstract. Quattro sensori sintetici sono posti a 0,20,80 e100 metri, con valori 20,22,28 e30 percento di contenuto volumetrico d’acqua. Confrontiamo IDW con esponenti 1,2,3, vicino più prossimo e interpolazione lineare. A50 metri tutti gli IDW restituiscono25, ma due campi costruiti, identici ai sensori, valgono rispettivamente25 e33 in quel punto. Una validazione leave-one-out seleziona l’esponente3 fra i tre provati, senza poter rivelare la differenza nascosta. Dimostriamo il vincolo di media pesata, calcoliamo errori in punti percentuali e discutiamo che cosa questi risultati consentano di affermare. Nessun sensore fisico o modello addestrato è stato usato.

Che cosa assumiamo del campo

Usiamo una sola coordinata x, in metri lungo una linea di100 metri. Non stiamo rappresentando l’intero campo in due dimensioni, né profondità, stagioni o irrigazione. I valori z_i sono percentuali volumetriche sintetiche:20 significa20% del volume convenzionale occupato da acqua nel nostro esempio. Gli errori fra queste letture si esprimono in punti percentuali, non automaticamente in percentuali relative. Ai quattro punti usiamo z=20+0,1x. La distanza grande fra20 e80 metri crea una zona centrale poco osservata; aumentare il numero di pixel della mappa non aggiunge misure in quella zona.

L’interpolatore IDW, inverse distance weighting, stima un valore con una media pesata delle osservazioni. I punti vicini hanno più peso. La documentazione primaria GDAL Grid descrive il metodo a potenza inversa e distingue distanza, esponente, smoothing e finestra di ricerca; ne abbiamo letto il sorgente ufficiale. Qui implementiamo una variante elementare monodimensionale con tutti i quattro punti, nessuno smoothing e nessuna ellisse di ricerca. Non abbiamo eseguito GDAL né riprodotto tutte le sue opzioni. Esplicitare questa differenza evita di chiamare identici due protocolli soltanto perché condividono la sigla IDW.

Una formula da leggere prima di applicare

x_i è la posizione del sensore i; d_i è la distanza dal punto richiesto, in metri; p è un esponente positivo senza unità. I pesi w_i hanno unità m⁻ᵖ, ma dividendoli per la loro somma otteniamo coefficienti α_i senza unità che sommano a uno. Il risultato conserva l’unità di z, qui percento volumetrico. Se chiediamo il valore esattamente a un sensore, restituiamo la sua lettura prima di calcolare i pesi: diversamente incontreremmo una divisione per zero. Assumiamo posizioni distinte; letture incompatibili alla stessa posizione richiederebbero un protocollo diverso.

A30 metri le distanze sono30,10,50 e70 metri. Con p=2 assegniamo pesi 1/900,1/100,1/2500 e1/4900: domina il sensore a20 metri, che legge22. La media normalizzata restituisce circa22,154537. Con p=1 restituisce23 e con p=3 circa21,997375. Il vicino più prossimo restituisce22; la linea fra i sensori a20 e80 metri restituisce23. Non abbiamo ancora stabilito quale stima sia giusta: per farlo serve un valore di riferimento nel punto, che nel nostro esperimento possiamo costruire ma in campo andrebbe misurato o validato.

Aumentare p concentra il peso sui sensori più vicini, ma non garantisce un miglioramento dell’errore. Se esiste un unico vicino a distanza minima, i rapporti dei pesi degli altri rispetto al suo tendono a zero quando p cresce: nel limite il risultato tende a quel vicino. Questo non significa che il percorso verso il limite sia monotono rispetto al valore stimato o all’accuratezza. Nel nostro punto a30 metri p=3 scende leggermente sotto22 prima del limite. Una frase generica come “più locale è più preciso” non è sostenuta dal metodo.

Il vincolo di media pesata non è un intervallo di confidenza

Poiché ogni α_i è positivo e la loro somma è uno, l’IDW resta fra il minimo e il massimo delle letture usate. Per dimostrarlo, se z_i≥z_min allora Σα_i z_i≥Σα_i z_min=z_min; allo stesso modo si ottiene il massimo. Nel nostro esempio nessun punto della mappa IDW può superare30 o scendere sotto20, anche dove mancano sensori. Questa proprietà è rassicurante soltanto se non la interpretiamo male: limita il calcolo, non certifica che il terreno reale abbia valori compresi nello stesso intervallo.

Una mappa con colori lisci e senza valori estremi può quindi nascondere proprio un’anomalia assente dal campione. L’algoritmo non ha un termine che rappresenti l’incertezza per distanza, variabilità del suolo o errori degli strumenti. Non possiamo ricavare dal solo peso una probabilità di correttezza o un intervallo al90%. Si potrebbero aggiungere modelli e assunzioni per stimare incertezza, ma andrebbero esplicitati e verificati. In questo articolo non eseguiamo kriging, processi gaussiani o una rete neurale e non ne inventiamo confronti di prestazione.

Due terreni diversi, quattro letture identiche

Costruiamo ora una prova del limite informativo. Il primo campo è f₁(x)=20+0,1x. Il secondo aggiunge un termine che si annulla esattamente nei quattro punti osservati. Non scegliamo questo polinomio perché descriva la fisica del terreno: è un controesempio matematico, utile a mostrare quali informazioni non sono contenute nei dati. I due campi sono continui e ogni sensore registra la stessa lettura in entrambi. Nessun algoritmo che riceva soltanto quei quattro valori può sapere quale dei due abbia generato il campione.

Il denominatore normalizza il prodotto: a50 metri la frazione vale1 e il termine aggiunto vale8 punti percentuali. A0,20,80,100 metri almeno un fattore del numeratore è zero. Abbiamo quindi controllato sia l’identità ai sensori sia la differenza al centro. I numeri delle coordinate sono espressi nella convenzione in metri specificata: cambiando unità occorre trasformare anche le costanti del polinomio. Il fattore8 ha unità di punti percentuali, mentre il rapporto dei prodotti è adimensionale.

A50 metri la simmetria delle distanze e delle letture rende la previsione IDW uguale a25 per ciascuno dei tre esponenti. L’errore lì è zero nel primo mondo e8 punti percentuali nel secondo. Non significa che il secondo sia probabile o che l’errore reale sia8: nessuno dei due è una misura del campo di un cliente. Significa che una garanzia di correttezza al centro non può essere dedotta dalla sola coincidenza ai punti noti. Inoltre33 supera il massimo osservato30: la media pesata di IDW non potrebbe riprodurlo nemmeno scegliendo un altro esponente positivo.

Togliere un sensore alla volta: che cosa misura la validazione

Per scegliere fra gli esponenti possiamo nascondere una lettura, ricostruirla usando soltanto le altre tre e confrontare previsione e valore nascosto. Ripetiamo l’operazione per tutti i quattro sensori: è una validazione leave-one-out, o a esclusione di un punto alla volta. Il programma elimina davvero la lettura dal calcolo dei pesi; mantenerla e interrogarne la posizione restituirebbe esattamente il valore noto, creando una valutazione inutilmente perfetta. È una forma di contaminazione della verifica da evitare anche nei sistemi AI più complessi.

La radice dell’errore quadratico medio, abbreviata RMSE, riassume la grandezza degli scarti mantenendo le loro unità. Elevare al quadrato impedisce che errori positivi e negativi si cancellino; dividere per4 fa la media sui quattro punti, e la radice torna ai punti percentuali. Non è una percentuale di decisioni corrette e non misura direttamente un beneficio agronomico. Per p=2 le quattro previsioni sono circa22,6304;21,2899;28,7101;27,3696, a confronto con20;22;28;30. Il valore aggregato risulta1,92654 punti percentuali.

Fra i tre candidati vince p=3, ma la differenza rispetto a p=2 è circa0,04168 punti percentuali su soli quattro casi. Non abbiamo un campione indipendente per attribuirle significatività o stabilità. Soprattutto, i dati osservati sono identici nei due campi: anche tutte le predizioni di validazione e i tre RMSE sono identici. Il punteggio non può rivelare la differenza a50 metri. La selezione del parametro migliora un criterio sui punti disponibili; non crea osservazioni nella zona vuota. Una verifica su nuove aree, con misure tenute separate dalla scelta dei parametri, risponderebbe a una domanda diversa e qui non è stata eseguita.

Riprodurre il risultato e confrontare alternative

Il pacchetto allegato contiene esperimento, risultati e generazione delle figure. La griglia ha1001 posizioni da0 a100 metri, passo0,1 metri: serve a disegnare le curve, non equivale a1001 misure. Non usiamo numeri casuali, quindi non occorre un seed. Il calcolo IDW visita n sensori per ciascuna delle G posizioni, con costo O(Gn); la validazione su n esclusioni e P esponenti costa O(Pn²) nell’implementazione semplice. Con quattro sensori il costo è trascurabile, ma in una mappa estesa la ricerca dei vicini può cambiare sia il tempo sia il metodo effettivamente valutato.

L’interpolazione lineare fra letture consecutive riproduce esattamente f₁, perché f₁ è una retta. A30 metri restituisce23; a50 restituisce25, fallendo comunque nel secondo campo. Il vicino più prossimo a30 metri restituisce22, mentre a50 i sensori20 e80 sono equidistanti: il nostro programma sceglie il primo nell’ordine dei dati e restituisce22. Dichiarare la regola di pareggio rende il risultato riproducibile. Non interpretiamo il successo della retta sul campo lineare come prova che essa sia migliore su terreni reali; è una compatibilità costruita fra ipotesi e dati.

Il programma controlla con asserzioni la coincidenza dei due campi ai sensori, la ricostruzione esatta dei punti osservati, il valore33 al centro del secondo campo e il rispetto dei limiti20–30 sulla griglia IDW. Le asserzioni non provano validità agronomica: intercettano errori rispetto al problema matematico dichiarato. Il codice mostrato richiama le funzioni dell’esperimento e stampa le due posizioni discusse, così il lettore può collegare direttamente valori, tabella e figura. Fuori dall’intervallo dei sensori la funzione lineare del pacchetto conserva il valore dell’estremo; non abbiamo valutato capacità di extrapolazione.

Dalla prova sintetica a una decisione sul campo

Per passare a un’applicazione occorre verificare quali distanze abbiano significato: una linea in metri non rappresenta pendenze, barriere, tessiture o profondità differenti. In due dimensioni vanno dichiarati sistema di coordinate, unità, anisotropia e regola di selezione dei vicini. Due punti vicini sulla mappa potrebbero non essere collegati idrologicamente. I sensori reali introducono calibrazione, deriva e rumore; riprodurre esattamente una lettura rumorosa non è necessariamente desiderabile. Nessuna di queste verifiche è stata sostituita dal nostro esempio, né attribuita a un prodotto EL-AI.

La risposta alla domanda iniziale è quindi precisa: la mappa conosce le letture e applica un’ipotesi fra esse; non conosce automaticamente il terreno non misurato. Abbiamo visto il limite con due campi indistinguibili dai quattro sensori, non con una generica raccomandazione alla prudenza. La conseguenza per un sistema AI è trattare copertura spaziale, provenienza e validazione della mappa come parte dell’evidenza disponibile. Il parametro migliore sui dati noti può essere utile, ma non autorizza a scambiare una superficie liscia per una nuova osservazione.

OSGeo GDAL — Grid Tutorial, official source: inverse distance to a power; read 16 October 2026. GDAL was not executed..

from experiment import idw, f1, f2
for x in [30.,50.]:
    print(x,[idw(x,p) for p in [1.,2.,3.]],f1(x),f2(x))

Codice, dati e istruzioni · JSON. Calcoli didattici eseguiti con Python 3.14.0; figure con Matplotlib 3.11.2. Analisi con assistenza AI, senza dichiarare peer review o revisione umana. Copertina originale ImageGen, illustrativa: non documenta persone, sedi o installazioni EL-AI. Fonti consultate il 16 ottobre 2026.