Il modello riproduce la misura: ha davvero riconosciuto il materiale?

Un errore piccolo può nascondere una risposta non determinata

Un modello AI riceve il segnale di una prova e restituisce due proprietà del materiale. Ricostruisce il segnale quasi perfettamente: possiamo concludere che abbia trovato le proprietà giuste? Non sempre. Se due combinazioni producono la stessa osservazione, il problema nasce prima dell’algoritmo: i dati non contengono abbastanza informazione per distinguerle. In questo articolo costruiremo un piccolo problema inverso, lo risolveremo e poi cambieremo il tipo di misura. Capiremo perché ridurre il residuo, rendere unica l’uscita numerica e identificare una causa fisica sono tre risultati differenti.

Abstract. Usiamo un modello lineare adimensionale con due parametri veri sintetici (0,8;0,2). Una misura della loro somma ammette infinite soluzioni; i minimi quadrati a norma minima restituiscono circa (0,5;0,5), con residuo numericamente nullo ma errore sui parametri circa 0,4243. Una penalità quadratica sceglie una soluzione unica senza aggiungere informazione. Con una seconda misura quasi ridondante, una perturbazione di 0,001 produce grandi spostamenti; con una misura più distinta lo spostamento si riduce. Sono calcoli eseguiti, non identificazioni di materiali reali o risultati di un modello addestrato.

Dalla previsione alla ricostruzione dei parametri

Nel problema diretto scegliamo i parametri e calcoliamo il segnale previsto. Nel problema inverso osserviamo il segnale e tentiamo di risalire ai parametri. Indichiamo con x=(x₁,x₂) due contributi normalizzati e con y una lettura normalizzata. Il modello y=x₁+x₂ è volutamente elementare: non è una legge spettroscopica validata e i contributi non sono dichiarati frazioni chimiche. L’immagine mentale è una prova sensibile a due effetti che si sommano. Tutte le quantità sono senza unità perché abbiamo già scelto una normalizzazione; una prova reale richiederebbe esplicitarne scale e unità originali.

Fissiamo per costruzione x*=(0,8;0,2), quindi y=1. La stella indica una verità nota soltanto nel nostro esperimento sintetico: la usiamo per misurare l’errore della ricostruzione. In un problema reale quella verità normalmente non è disponibile. Se valutassimo soltanto la capacità di riprodurre y, potremmo non accorgerci che i parametri sono sbagliati. È lo stesso rischio per un modello appreso che venga premiato unicamente per la ricostruzione dell’osservazione: un buon obiettivo sul segnale non garantisce un’identificazione univoca degli effetti nascosti.

La famiglia x(t) conserva la somma per ogni t: aumentiamo un contributo e diminuiamo l’altro dello stesso importo. Il vettore (1,−1) appartiene al nucleo di A, cioè a una direzione che il sensore non vede. Se imponessimo soltanto contributi non negativi, rimarrebbe l’intero intervallo −0,5≤t≤0,5: non negatività non significa unicità. Le tre coppie (0,5;0,5), (0,8;0,2) e (0,9;0,1) producono tutte y=1. Questa è non identificabilità strutturale nel modello, non un difetto di convergenza del risolutore.

Residuo e errore sui parametri rispondono a domande diverse

Definiamo il residuo come la norma euclidea ||Ax−y||₂: quanto il segnale ricostruito si discosta dall’osservato. L’errore sui parametri è ||x−x*||₂: quanto ci allontaniamo dalla verità sintetica. Per (0,5;0,5) il residuo matematico è zero, mentre l’errore è radice di (−0,3)²+0,3², circa 0,424264. I due numeri non sono contraddittori: misurano oggetti diversi. Nel calcolo numerico il residuo risulta circa 2,22×10⁻¹⁶ per arrotondamenti, non perché abbiamo raccolto una misura fisica con quella precisione.

Il risolutore a norma minima restituisce proprio la coppia simmetrica. Fra le soluzioni a somma uno, ||x(t)||²=0,5+2t² è minima a t=0. La scelta è quindi spiegabile: preferisce la norma più piccola, non sa che il materiale sintetico era (0,8;0,2). Una rete addestrata su esempi potrebbe apprendere una preferenza diversa, legata alla distribuzione di addestramento; il nostro esperimento non addestra una rete e non ne quantifica l’errore. Il punto logico resta che l’uscita può riflettere una preferenza del metodo dove la misura non distingue le alternative.

Rendere unica la soluzione non crea informazione

Aggiungiamo una penalità quadratica, nota come regolarizzazione di Tikhonov nella forma qui usata. Il primo termine continua a chiedere compatibilità con i dati; il secondo penalizza parametri grandi. λ è non negativo e controlla il compromesso. Poiché tutto è normalizzato, i termini sono confrontabili nel nostro modello; cambiando le unità originali senza riscalare la penalità cambieremmo implicitamente la preferenza. Non presentiamo λ come una costante fisica o una probabilità. È parte della scelta del metodo, da documentare e validare.

Sottraendo le due condizioni otteniamo 2λ(x₁−x₂)=0. Per λ positivo questo impone x₁=x₂; sostituendo resta (2+λ)x₁=1. A λ=0,1 entrambi valgono 1/2,1≈0,476190. La somma prevista è circa 0,952381, perciò il residuo sale a circa 0,047619. La soluzione è unica e numericamente stabile in questo piccolo sistema, ma l’errore sui parametri è circa 0,425598: non abbiamo riconosciuto meglio la verità. La penalità ha scelto e ristretto un punto, non osservato la direzione mancante.

Possiamo rendere ancora più esplicito il ruolo della preferenza usando ||x−x₀||² invece di ||x||². Scegliamo due riferimenti che già soddisfano la misura: x₀=(0,5;0,5) e x₀=(0,9;0,1). Con λ=0,1 ciascun riferimento annulla entrambi i termini e viene selezionato come soluzione unica. I residui sono numericamente nulli in entrambi i casi, ma i parametri differiscono molto. Non abbiamo dimostrato quale prior sia giusto: abbiamo costruito un controesempio alla conclusione “soluzione unica e buon fit, quindi proprietà fisiche identificate”.

Una seconda misura può essere quasi la prima

Aggiungiamo y₂=x₁+(1+ε)x₂. Per ε diverso da zero, sottraendo y₁ da y₂ otteniamo εx₂ e possiamo ricostruire entrambi i parametri. In aritmetica esatta il problema diventa identificabile, ma non tutte le scelte di ε sono equivalenti. Se ε è piccolo, il secondo sensore vede quasi lo stesso effetto del primo: l’informazione che distingue i parametri sta in una differenza minuscola. Nel nostro caso pulito y₁=1 e y₂=1+0,2ε. Aggiungiamo soltanto alla seconda lettura una perturbazione deterministica δ=0,001, senza inventare una distribuzione statistica del rumore.

Con ε=0,01 la lettura pulita y₂ è 1,002; quella perturbata è 1,003. Ricostruendo otteniamo x₂=0,3 e x₁=0,7, invece di 0,2 e 0,8. Una variazione di 0,001 nella misura sposta ciascun parametro di 0,1. Il residuo del sistema perturbato resta quasi nullo perché possiamo adattarci esattamente alle due equazioni: la buona ricostruzione non rivela l’amplificazione. L’errore sui parametri è ora circa 0,141421. Sono numeri adimensionali normalizzati, non risoluzioni dichiarate di uno strumento.

Con ε=0,001 la stessa perturbazione produce circa (−0,2;1,2). Se interpretiamo i contributi come non negativi, il risultato è fisicamente inammissibile: segnala che il problema non vincolato ha amplificato troppo la perturbazione. Non abbiamo eseguito una soluzione a vincoli di positività e non ne attribuiamo prestazioni. Vincolare potrebbe impedire il segno negativo, ma non dimostrerebbe automaticamente di aver ricostruito (0,8;0,2). Anche un punto accettabile nei limiti fisici può essere molto diverso dalla verità, come già mostrava la famiglia a somma uno.

Cambiamo invece il secondo esperimento a ε=1, quindi y₂=x₁+2x₂. La stessa perturbazione di 0,001 produce circa (0,799;0,201): lo spostamento di ciascun parametro è 0,001, cento volte più piccolo che con ε=0,01. Non abbiamo ridotto il rumore o cambiato il risolutore; abbiamo cambiato quanto la misura distingue i due contributi. Questo è il ruolo del progetto sperimentale. Non basta contare quante letture abbiamo: bisogna chiedere quali direzioni dei parametri ciascuna rende osservabili, sotto lo stesso modello e la stessa scala.

Che cosa ci dicono i valori singolari

La decomposizione in valori singolari, SVD, descrive come A allunga o comprime direzioni ortogonali dello spazio dei parametri. Un valore singolare piccolo indica una direzione che produce una variazione piccola del segnale; invertirla può amplificare una perturbazione. Nel sistema quadrato con ε=0,01 i valori calcolati sono circa 2,0050125 e 0,0049875. Il loro rapporto, il numero di condizionamento in norma due, è circa 402,0075. Con ε=1 scende a circa 6,8541. Non è una percentuale di errore prevista: è una descrizione della sensibilità peggiore relativa sotto quelle norme e scale.

Per un prior nullo, la regolarizzazione quadratica sostituisce il fattore di inversione 1/σ con σ/(σ²+λ) lungo ciascuna direzione singolare. Quando σ² è molto piccolo rispetto a λ, quella direzione viene attenuata. Questo può ridurre l’amplificazione del rumore, ma può anche attenuare una differenza reale fra contributi. È il compromesso fra variabilità e distorsione, non un modo per ottenere gratuitamente l’informazione assente. Nel sistema a una sola misura, la direzione esattamente nulla resta senza evidenza: la preferenza del prior decide come trattarla.

I risultati eseguiti mostrano entrambi gli esiti del compromesso. Per ε=0,001 il caso non regolarizzato ha errore circa 1,4142, mentre λ=0,01 lo porta a circa 0,4245, avvicinandolo alla soluzione simmetrica. Per ε=1, dove la misura distingue già bene i parametri, lo stesso λ aumenta invece l’errore da circa 0,001414 a 0,038199. Non scegliamo un vincitore universale fra regolarizzato e non regolarizzato. In un’applicazione servono un protocollo di selezione, un modello del rumore e dati indipendenti; qui presentiamo soltanto i valori effettivamente calcolati per mostrare il meccanismo.

Riprodurre i calcoli senza confondere una convenzione numerica con un dato

Il programma usa NumPy 2.5.3 e risolve i minimi quadrati con numpy.linalg.lstsq, rcond=None. Per Tikhonov costruisce il sistema aumentato con righe sqrt(λ)I e target sqrt(λ)x₀. In questo modo il problema viene passato al risolutore senza formare esplicitamente l’inversa di AᵀA. La documentazione primaria spiega la scelta a norma minima quando esistono più soluzioni e il criterio numerico sui valori singolari. Un rango numerico dipende dalla soglia e dalla precisione: non è la stessa cosa della capacità pratica di identificare parametri con dati rumorosi.

Calcoliamo sempre il residuo direttamente come norma di A@x−y. Non interpretiamo un array residuals vuoto restituito dal risolutore come prova di errore zero: la documentazione ne prevede l’assenza in particolari forme o ranghi del sistema. Lo script salva parametri veri, matrici, osservazioni pulite e perturbate, valori singolari e ricostruzioni, così la conclusione è controllabile. Il seed non è applicabile perché non estraiamo rumore casuale. Le piccole differenze di arrotondamento fra piattaforme non cambiano il controesempio algebrico, ma versioni e tolleranze restano parte del materiale riproducibile.

Ripetere la prima misura senza cambiarne la sensibilità aggiunge righe proporzionali ad A e non elimina il nucleo (1,−1). Con rumori indipendenti potrebbe aiutare a stimare meglio la somma, ma non separarebbe da sola i due contributi. Questa è una conseguenza del modello, non un esperimento di ripetizioni che abbiamo eseguito. Analogamente un modello più grande può incorporare conoscenze ulteriori, ma non rende retroattivamente informativa una misura cieca a una direzione. Bisogna dichiarare da dove arriva l’informazione aggiuntiva: dati diversi, prior, vincoli fisici o esempi di addestramento.

La risposta alla domanda iniziale è quindi no: riprodurre una misura non dimostra da solo di aver riconosciuto il materiale. Nel caso non identificabile esistono molte spiegazioni equivalenti; nel caso quasi ridondante piccole perturbazioni possono cambiare molto la spiegazione; la regolarizzazione stabilizza scegliendo una preferenza, non certificando una causa. Una misura progettata per distinguere i contributi può fare più differenza di una nuova funzione di penalità. Il nostro esercizio rende verificabile questa distinzione, senza attribuire a EL-AI prove materiali, modelli proprietari, scoperte o risultati sperimentali non eseguiti.

NumPy primary reference — numpy.linalg.lstsq: minimum-norm solution, residuals and singular-value cutoff; accessed16October2026.

import numpy as np
from experiment import solve, TRUE
for eps in [.001,.01,1.]:
    A=np.array([[1.,1.],[1.,1.+eps]])
    y=A@TRUE+np.array([0.,.001])
    print(eps,solve(A,y)['x'],solve(A,y)['residual_norm'])

Codice, dati e istruzioni · JSON. Calcoli didattici eseguiti con Python 3.14.0; figure con Matplotlib 3.11.2. Analisi con assistenza AI, senza dichiarare peer review o revisione umana. Copertina originale ImageGen, illustrativa: non documenta persone, sedi o installazioni EL-AI. Fonti consultate il 16 ottobre 2026.