Una predicción plausible con una suma imposible
Un modelo de IA sustituye parte de un simulador: recibe el estado de un proceso y predice la distribución de una sustancia. Cada valor parece razonable por separado. Al sumarlos aparecen doce kilogramos donde solo había diez, sin entradas externas. La predicción no es solo imprecisa: viola información conocida. ¿Podemos corregirla sin volver a entrenar? Y cuando el total cuadra, ¿podemos darla por correcta?
Respondemos mediante tres compartimentos y una restricción de masa. Derivamos la corrección mínima, mostramos por qué puede producir cantidades negativas y añadimos otra restricción para evitarlas. Después distinguimos una garantía matemática real de dos promesas imposibles: conocer la distribución verdadera y corregir un balance inicial erróneo. Los números son sintéticos y calculados con Python; no entrenamos una red, simulamos un fluido ni validamos una instalación EL-AI.
Qué sabemos realmente del sistema
Consideremos una sustancia en tres volúmenes de control. Usamos masas en kg, no concentraciones: x₁, x₂ y x₃ son las cantidades por predecir. El sistema está cerrado para esa sustancia, sin fuentes, reacciones que la produzcan o consuman, pérdidas ni flujos externos. La masa total conocida es M = 10 kg. No afirmamos que toda sustancia de cualquier proceso se conserve individualmente: la hipótesis define el ejemplo. Si hay entradas o salidas, el total debe actualizarse mediante su balance.
Una red que minimiza el error medio puede aprender muchas relaciones sin cumplir exactamente la suma en cada nueva entrada. Una restricción blanda añade una penalización al entrenamiento; una dura admite solo resultados que satisfacen la igualdad. Son objetivos distintos. Incluso una penalización grande puede dejar residuo porque compite con otros objetivos y con una optimización numérica imperfecta.
La corrección mínima tiene una definición precisa
Sea y = [8, 3, 1] kg la predicción bruta. Suma doce, con exceso de dos kilogramos. Podríamos retirarlos del primer compartimento o repartirlos. Para elegir debemos definir «cambiar lo mínimo». Aquí minimizamos la suma de cuadrados de las correcciones, tratando igual un kilogramo en cualquier compartimento. Es una elección de métrica, no una ley física.
Esta operación se llama proyección: encuentra el punto admisible más cercano según la distancia elegida. Primero imponemos solo la suma. Introducimos λ y construimos L = ½Σᵢ(xᵢ − yᵢ)² + λ(Σᵢxᵢ − M). En el mínimo cada derivada es nula: xᵢ − yᵢ + λ = 0. La corrección es igual en todos los compartimentos; imponer el total determina su tamaño.
Resulta x = [22/3, 7/3, 1/3] kg, aproximadamente [7,3333; 2,3333; 0,3333]. El total es exactamente diez en la aritmética racional del script. Retirar todo el exceso del primero da [6,3,1], con corrección cuadrática de 4 kg²; repartirlo uniformemente cuesta 4/3 kg². Por eso la proyección prefiere lo segundo. El objetivo es estrictamente convexo y la restricción afín: el mínimo es único, sin búsqueda aleatoria ni mínimos locales.
Una garantía útil, distinta de conocer la verdad
Si la verdad fuera t = [6,3,1], corregir solo el primer compartimento sería perfecto, mientras la proyección no. La conservación no identifica dónde está el error. Aun así garantiza algo preciso: si t cumple el total correcto, la proyección euclídea no aumenta la distancia cuadrática global a t. Podemos demostrarlo sin conocer sus tres valores.
Las dobles barras indican distancia euclídea, cuyo cuadrado suma errores cuadrados. y − x tiene componentes iguales a λ; x − t suma cero porque ambos totales son M. Su producto escalar es nulo y desaparece el término cruzado. En A el error respecto a t baja de 4 a 8/3 kg². Dos compartimentos antes exactos cambian: mejora el error global, no cada componente por separado.
Consideremos y = [8,1,1]. Ya suma diez, así que la corrección es cero. Respecto a t = [6,3,1] quedan 8 kg² de error. Un modelo puede conservar perfectamente la masa y distribuirla mal. La conservación es necesaria, no una medida completa de exactitud. Tampoco certifica tiempos de transferencia, flujos locales, energía o reacciones no modeladas.
El total cuadra, pero aparece masa negativa
En B, y = [−1,4,9] kg. Restar 2/3 a cada entrada da [−5/3,10/3,25/3]. Suma diez, pero el primer valor es más negativo. Recortarlo después a cero eleva el total a 35/3, unos 11,6667 kg: destruye la restricción recién impuesta. Suma y no negatividad deben satisfacerse juntas, no repararse sucesivamente con operaciones incompatibles.
θ es un umbral común, medido en kg. Los compartimentos suficientemente grandes ceden θ; los que quedarían negativos se detienen en cero. En B fijamos el primero a cero y exigimos que los otros sumen diez: (4 − θ) + (9 − θ) = 10. Así θ = 1,5 kg y x = [0; 2,5; 7,5]. Ambas condiciones se cumplen simultáneamente.
La forma con max no es intuición sin prueba. Las condiciones de optimalidad añaden un multiplicador no negativo μᵢ por cada límite xᵢ ≥ 0. La derivada da xᵢ − yᵢ + θ − μᵢ = 0 y la complementariedad exige μᵢxᵢ = 0. Si xᵢ es positivo, μᵢ es cero y xᵢ = yᵢ − θ. Si xᵢ es cero, μᵢ = θ − yᵢ debe ser no negativo. Ambos casos producen la fórmula. El conjunto sigue siendo convexo: las condiciones identifican el mínimo global único.
| Caso | Predicción (kg) | Solo suma (kg) | Suma + no negatividad (kg) |
|---|---|---|---|
| A | [8; 3; 1] | [22/3; 7/3; 1/3] | [22/3; 7/3; 1/3] |
| B | [−1; 4; 9] | [−5/3; 10/3; 25/3] | [0; 2.5; 7.5] |
| C | [8; 1; 1] | [8; 1; 1] | [8; 1; 1] |
La métrica decide dónde corregir
Tratamos igual los tres errores. Con incertidumbres fiables e independientes σᵢ² podríamos minimizar ½Σᵢ(xᵢ − yᵢ)²/σᵢ². Corregir un compartimento incierto costaría menos que uno bien conocido. Con solo la suma resulta xᵢ = yᵢ − σᵢ²(Σⱼyⱼ − M)/Σⱼσⱼ². Para y = [8,3,1] y varianzas hipotéticas [4,1,1] kg² obtenemos [20/3,8/3,2/3] kg. No estimamos esas varianzas con datos: muestran cómo cambia la pregunta de optimización.
La garantía de distancia debe usar la métrica de la proyección: cambiar pesos no conserva automáticamente el resultado euclídeo. Las incertidumbres correlacionadas modifican el problema mediante una matriz de covarianza. Al usar concentraciones cᵢ, el total es ΣᵢVᵢcᵢ, con Vᵢ en m³ y cᵢ en kg/m³. Sumar concentraciones en celdas de volúmenes distintos impone una restricción errónea. La discretización forma parte del significado físico.
Una restricción errónea puede empeorar una buena predicción
Tomemos [5,9;3;1,1] kg frente a la verdad sintética [6,3,1]. Suma diez y tiene error cuadrático de 0,02 kg². Si imponemos erróneamente M = 12, la proyección añade 2/3 kg por entrada y el error sube a 1,3533 kg². No contradice la prueba: la verdad queda fuera del conjunto impuesto. Una medida sesgada, un flujo omitido o unidades incoherentes pueden hacer una garantía matemáticamente precisa y físicamente falsa.
Si el balance es incierto, una penalización blanda o una formulación con incertidumbre puede ser más adecuada que una igualdad rígida arbitraria. En nuestro problema cuadrático, añadir α/2(Σᵢxᵢ − M)² deja residuo (Σᵢyᵢ − M)/(1 + nα). Con exceso inicial de 2 kg y n = 3, α = 1 deja 0,5 kg y α = 100 unos 0,00664 kg. Es una derivación del problema de corrección, no un benchmark de entrenamiento PINN. Penalizar e imponer no son sinónimos.
Para verificar el residuo, sea r = Σᵢxᵢ − M. Derivar da xᵢ − yᵢ + αr = 0. Sumando las n componentes resulta r = Σᵢyᵢ − M − nαr, de donde sale la fracción. α es adimensional porque ambos términos tienen unidades kg². El cálculo excluye no negatividad; si se requiere, también debe imponerse en el problema penalizado.
La conexión con la investigación y sus límites
El preprint PINN-Proj de Baez y colaboradores, arXiv v1 del 12 de noviembre de 2025, estudia proyecciones de integrales en redes informadas por física. Leímos métodos y experimentos: cinco problemas diferenciales, comparación de penalización y proyección y medias de diez ensayos. Conservación y exactitud del estado son métricas distintas; las tablas no muestran victoria universal en la segunda. Aumenta el coste de entrenamiento. No reproducimos el estudio ni extendemos nuestra prueba lineal a todas sus restricciones cuadráticas.
PINN significa red neuronal informada por física: su entrenamiento incorpora residuos de ecuaciones físicas. No toda red sustituta es una PINN. La corrección puede aplicarse después o dentro de una cadena diferenciable de entrenamiento; son protocolos distintos. Con nuestra restricción afín y M constante, la derivada es I − 11ᵀ/n: elimina la componente uniforme. I es la identidad y 1 el vector de unos. La no negatividad introduce cambios de conjunto activo y puntos no diferenciables, exigiendo otras decisiones para entrenar.
Reproducción y verificación: qué calcula el código
El paquete usa fracciones exactas sin solucionador externo. affine resta el exceso medio en O(n). simplex ordena de mayor a menor, determina cuántas componentes siguen positivas y calcula θ con sumas prefijas; ordenar domina el coste O(n log n). Comprueba optimalidad por componente. Para M = 0 devuelve ceros; un total negativo es incompatible con masas no negativas y se rechaza. Vectores y ordenación requieren O(n) memoria.
Una aplicación real debe comprobar unidades y balances, distinguir conservación global y local, documentar errores de medida y discretización y comparar exactitud antes y después en casos independientes. Cumplir un integral discretizado no hace exacto el campo continuo. Corregir cada instante tampoco garantiza la dinámica temporal: puede mover masa sin flujo plausible. Son límites del problema, no detalles que ocultar tras un total perfecto.
Respuesta a la pregunta inicial
Sí, podemos corregir una predicción que crea masa sin reentrenar si conocemos el balance y definimos correcciones admisibles. La proyección explicita esa elección y, bajo hipótesis precisas, garantiza algo sobre la distancia global a la verdad factible. Pero sumar diez kilogramos no revela dónde deben estar. Lo útil es una predicción coherente con más información conocida, con verificaciones separadas de distribución y dinámica. La IA científica exige preguntar qué propiedades demostramos, con qué datos y hasta qué límites.
Fuentes y código ejecutado
from experiment import affine, simplex, run
print([str(v) for v in affine([8, 3, 1], 10)])
print([str(v) for v in simplex([-1, 4, 9], 10)])
print(run()['wrong_total'])
Código, datos e instrucciones · JSON. Cálculos didácticos ejecutados con Python 3.14.0; figuras con Matplotlib 3.11.2. Análisis asistido por IA, sin afirmar revisión por pares ni humana. Portada original ImageGen ilustrativa: no documenta personas, sedes ni instalaciones de EL-AI. Fuentes consultadas el 4 de octubre de 2026.