Robótica · Análisis y simulación · 24 de septiembre de 2026
Resumen: la frecuencia de control forma parte del diseño
Un controlador proporcional-derivativo puede estabilizar un modelo continuo y fallar al actualizarse en intervalos discretos. Estudiamos una masa ideal controlada en fuerza, derivamos el mapa exacto con mando mantenido y determinamos el intervalo de muestreo que garantiza estabilidad asintótica en el modelo. Después lo comparamos con Euler hacia delante y un retardo de una muestra. Queremos entender qué sistema analizamos antes de confiar en una gráfica de simulación.
El análisis requiere ecuaciones diferenciales lineales, matrices 2×2 y autovalores. No es un algoritmo robótico nuevo ni un benchmark industrial: es una derivación didáctica con código ejecutado, pertinente para ejes de movimiento y modelos locales de manipuladores. Excluye contacto, fricción, elasticidad, saturación y certificaciones. Su sencillez permite aislar el efecto del muestreo sin mezclarlo con la cinemática de un robot completo.
1. Masa, fuerza y ganancias: primero las unidades
Sea q el desplazamiento respecto a la referencia, en metros; v, la velocidad en m/s; m, la masa en kg; y u, la fuerza en newtons. La referencia es constante y se fija en cero. Suponemos medidas exactas y un actuador ideal. k_p tiene unidades N/m y k_d, N·s/m. Un error de signo es decisivo: la fuerza proporcional debe oponerse al desplazamiento y la derivativa a la velocidad.
En tiempo continuo, m>0, k_p>0 y k_d>0 dan polos con parte real negativa. Para m=1 kg, k_p=100 N/m y k_d=10 N·s/m, el polinomio es s²+10s+100 y los polos son −5 ± j√75 s⁻¹. La frecuencia natural es 10 rad/s y el amortiguamiento relativo, 0,5. El sistema converge oscilando. Esto corresponde a una fuerza que cambia continuamente con el estado, no congelada entre lecturas.
2. Integrar la planta con el mando mantenido
El controlador digital lee q_k y v_k en t_k=kh, calcula u_k y mantiene esa fuerza durante h segundos. Es la retención de orden cero, ZOH. Entre muestras la aceleración es constante y se integra sin aproximaciones numéricas: la velocidad cambia linealmente y la posición cuadráticamente. El término h²u_k/(2m) es esencial; eliminarlo cambia el mapa. MathWorks distingue esta discretización exacta para entradas escalonadas de las aproximaciones alternativas.
Las entradas de la matriz no comparten unidades: la superior derecha multiplica velocidad para producir posición y tiene unidades de tiempo; la inferior izquierda tiene unidades s⁻¹. Los autovalores son adimensionales y describen la evolución entre muestras. Cambiar metros por milímetros modifica la representación del estado, no los autovalores de una transformación reescalada de forma coherente.
3. Una condición exacta, no una regla empírica
La estabilidad asintótica de un sistema lineal discreto exige todos los autovalores estrictamente dentro del círculo unidad. Aplicamos al ejemplo el criterio cuadrático de Jury presentado en el texto de Kamran Iqbal. Definimos τ como traza y δ como determinante de A_h. El polinomio característico es z²−τz+δ. Las tres desigualdades siguientes son necesarias y suficientes con coeficientes reales; la igualdad no da estabilidad asintótica.
La primera condición se cumple automáticamente con h y k_p positivos. La segunda limita el periodo respecto a la ganancia derivativa y la tercera respecto al cociente de ganancias. Ambos límites tienen unidades de segundos. Con nuestros parámetros valen 0,2 s. El modelo sin retardo es asintóticamente estable para 0<h<0,2 s. No recomendamos controlar un robot a 5 Hz: calculamos una frontera para esta masa ideal y estas ganancias.
Una consecuencia menos intuitiva afecta a k_d: aumentarlo no amplía indefinidamente el periodo admisible. El límite 2k_d/k_p crece, pero 2m/k_d disminuye. Con m y k_p fijos, su mínimo se maximiza donde coinciden: k_d=√(mk_p), aquí 10 N·s/m. Se optimiza el margen de muestreo del modelo, no el transitorio, el ruido ni la precisión; otros objetivos pueden favorecer ganancias distintas.
4. La frontera y la falsa tranquilidad de un autovalor
Exactamente en h=0,2 s, la matriz es [[−1,0],[−20,−1]]. Tiene un autovalor doble −1, pero no es diagonalizable. Escribiendo A=−I+N con N²=0, obtenemos A^k=(−1)^k(I−kN). Aparece un término que crece linealmente con k. Un radio espectral igual a uno no garantiza trayectorias acotadas. Con q inicial no nulo, la velocidad alterna signo y crece en magnitud.
Cerca de la frontera, la aritmética de coma flotante y los autovalores casi coincidentes hacen engañosa una comparación automática sin tolerancia. En la ejecución, el valor calculado es aproximadamente 1,000000024. No es un nuevo umbral físico: el resultado analítico determina el caso límite. El script excluye la frontera de la comprobación binaria y compara los otros 299 puntos con la desigualdad derivada.
5. Por qué Euler da otra respuesta
Euler hacia delante aplicado al sistema continuo ya cerrado utiliza E_h=I+hA_c. Sus polos discretos son 1−5h ± j√75h; el módulo al cuadrado es 1−10h+100h². La condición es 0<h<0,1 s, la mitad del límite ZOH. Con h=0,15 s, Euler es inestable y la masa con fuerza mantenida es estable. No hay contradicción: el integrador aproximado y el sistema físico muestreado tienen matrices diferentes.
Incluso discretizar exactamente todo el lazo continuo con exp(A_c h) responde a otra pregunta: devuelve muestras de una realimentación que sigue actualizándose entre lecturas. Como los polos continuos son estables, sus exponenciales quedan dentro del círculo unidad para cualquier h positivo. Sería erróneo concluir que el controlador digital es estable para cualquier periodo. Hay que discretizar la planta con entrada mantenida y después cerrar la realimentación muestreada.
6. Una muestra de retardo cambia el orden del modelo
Supongamos que el mando recién calculado se aplica en la siguiente muestra. La fuerza del intervalo actual es u_(k−1). El estado debe recordarla: y_k=[q_k,v_k,u_(k−1)]ᵀ. El modelo pasa a tercer orden. No basta restar una constante a la frecuencia ni reutilizar la frontera anterior: hay que analizar la nueva matriz. Aquí el retardo es exactamente h, sin jitter ni retardos fraccionarios.
La comparación numérica muestra un efecto importante: con h=0,1 s, el radio espectral sin retardo es aproximadamente 0,707; con retardo sube a 1,441. Una elección estable en el primer modelo resulta inestable en el segundo. No es una medida del retardo de un bus real o de un runtime de IA: es una sensibilidad controlada cambiando una sola hipótesis estructural.
| h (s) | ZOH exacto | Euler | Retardo h |
|---|---|---|---|
| 0.02 | 0.905539 | 0.916515 | 0.914089 |
| 0.1 | 0.707107 | 1.000000 | 1.440965 |
| 0.15 | 0.790569 | 1.322876 | 1.848672 |
| 0.18 | 0.905539 | 1.562050 | 2.082966 |
| 0.2 | 1.000000 | 1.732051 | 2.236068 |
| 0.22 | 2.014344 | 1.907878 | 2.387195 |
7. Experimento, transitorios y reproducibilidad
El código usa Python 3.14.0 y NumPy 2.5.3, sin aleatoriedad. La cuadrícula contiene 300 periodos entre 0,001 y 0,300 s. Las trayectorias parten de q_0=0,01 m y v_0=0, hasta la última muestra dentro de tres segundos, con h en {0,02; 0,15; 0,22} s. No se integra una ODE con paso oculto: cada actualización usa directamente el mapa exacto. Las figuras se generan con Matplotlib 3.11.2.
El caso inestable puede alcanzar desplazamientos enormes porque el modelo permite fuerza y recorrido ilimitados. No predicen movimiento real: indican divergencia de la recurrencia y que las hipótesis locales dejarían pronto de representar una máquina. Los casos estables también pueden presentar transitorios importantes. El radio espectral determina el comportamiento asintótico, no el error o esfuerzo máximos. Comparar radios entre periodos exige cuidado: una muestra no representa la misma duración física.
import numpy as np
m, kp, kd = 1., 100., 10.
for h in [.02, .1, .15, .18, .2, .22]:
A = np.array([[1-h*h*kp/(2*m), h-h*h*kd/(2*m)],
[-h*kp/m, 1-h*kd/m]])
print(h, max(abs(np.linalg.eigvals(A))))8. Qué cambia cuando entra la IA
Un modelo visual que actualiza lentamente la referencia no equivale a uno que cierra directamente el lazo de fuerza. El primero permite separar planificación lenta y regulación rápida; en el segundo, la latencia de inferencia forma parte de la dinámica. Para interpretar un experimento hay que indicar dónde está el modelo de IA, cuándo está disponible su salida y qué mando sigue activo durante la espera. El tiempo medio de inferencia no describe esa secuencia.
Quedan por analizar ruido de velocidad, filtros, jitter, pérdida de muestras, variación de masa, saturación y contacto. Filtrar velocidad reduce componentes de ruido, pero introduce estados y retardo: no puede aplicarse automáticamente la fórmula de dos estados. Con h variable aparecen productos de matrices distintas; comprobar cada matriz aisladamente no demuestra en general estabilidad del producto. Son problemas diferentes que requieren modelos y experimentos específicos.
La robótica industrial y colaborativa es una dirección que EL-AI pretende explorar. Este artículo aporta un método de análisis sin atribuir a la empresa robots instalados ni resultados de hardware. La conclusión práctica es escribir la secuencia medida-cálculo-aplicación, derivar su mapa y verificar estabilidad y transitorios. Una simulación convincente del sistema equivocado sigue respondiendo a la pregunta equivocada.
Fuentes, código y límites editoriales
Kamran Iqbal, Stability of Sampled-Data Systems (2023). MathWorks, Continuous-Discrete Conversion Methods.
Fuentes consultadas el 24 de septiembre de 2026. Derivación y ejemplo elaborados para este artículo con asistencia de IA; sin afirmar revisión por pares ni certificación. Código, resultados e instrucciones. Datos JSON. Portada ImageGen ilustrativa: no es una máquina o sede real de EL-AI.