机器人采样控制：稳定的 PD 控制器何时变得不稳定

机器人学 · 分析与仿真 · 2026 年 9 月 24 日

摘要：控制频率是设计的一部分

比例微分控制器可以稳定连续模型，却在离散间隔更新时失效。本文研究受力控制的理想质量，推导指令保持条件下的精确映射，并确定保证模型渐近稳定的采样区间。随后将该映射与前向欧拉及一个采样周期延迟模型比较。目标是在相信仿真曲线之前，先弄清实际分析的是什么系统。

分析需要线性微分方程、2×2 矩阵和特征值基础。这不是新的机器人算法，也不是工业基准，而是配有已执行代码的教学推导，与运动轴及机械臂局部模型相关。模型不包含接触、摩擦、弹性、饱和或认证问题。正是这种简化，使我们能单独研究采样效应，而不与完整机器人的运动学混淆。

1. 质量、力与增益：先明确单位

设 q 为相对参考位置的位移，单位米；v 为速度，单位 m/s；m 为质量，单位 kg；u 为力，单位牛顿。参考位置恒定并设为零。假设位置和速度测量精确、执行器理想。k_p 单位为 N/m，k_d 单位为 N·s/m。符号错误会产生决定性影响：比例力应反抗位移，微分力应反抗速度。

连续时间下，m>0、k_p>0、k_d>0 时，极点实部为负。取 m=1 kg、k_p=100 N/m、k_d=10 N·s/m，多项式为 s²+10s+100，极点为 −5 ± j√75 s⁻¹。固有角频率为 10 rad/s，阻尼比为 0.5，系统振荡收敛。这一结论针对随状态连续变化的力，而不是两次测量间冻结的力。

2. 对指令保持下的对象进行积分

数字控制器在 t_k=kh 读取 q_k、v_k，计算 u_k，并将该力保持 h 秒，这称为零阶保持 ZOH。样本间加速度恒定，可以无数值近似地积分：速度线性变化，位置二次变化。h²u_k/(2m) 项不可忽略，删去它就改变了映射。MathWorks 文档明确区分阶梯输入的这种精确离散化与其他近似方法。

矩阵各项单位并不相同：右上项将速度转换为位置，因此单位是时间；左下项单位为 s⁻¹。特征值则无量纲，描述一个采样时刻到下一个时刻的演化。从米改成毫米会改变状态表示，但对一致缩放后的变换，特征值不变。

3. 精确条件，而非经验规则

离散线性系统渐近稳定要求所有特征值严格位于单位圆内。本文采用 Kamran Iqbal 教材中的二次 Jury 判据，并用于自己的例子。令 τ 为 A_h 的迹，δ 为其行列式，则特征多项式为 z²−τz+δ。对实系数，下列三个不等式是充要条件；等号不能保证渐近稳定。

对正 h 和正 k_p，第一个约束自动满足。第二个约束以微分增益限制周期，第三个以增益比限制周期，两者单位均为秒。选定参数下，两界限均为 0.2 s，因此无延迟模型在 0<h<0.2 s 渐近稳定。这不是建议用 5 Hz 控制机器人，而是计算该理想质量及这组增益的边界。

关于 k_d 有一个不太直观的结论：增大它并不会无限扩大允许周期。2k_d/k_p 增大，而 2m/k_d 减小。固定 m、k_p 时，两者最小值在二者相等处最大，即 k_d=√(mk_p)，本例为 10 N·s/m。这优化的是模型的采样裕度，而非瞬态、噪声或精度；不同目标可能偏好不同增益。

4. 边界与特征值带来的虚假安心

在 h=0.2 s 时，矩阵恰为 [[−1,0],[−20,−1]]。它有二重特征值 −1，却不可对角化。写成 A=−I+N 且 N²=0，可得 A^k=(−1)^k(I−kN)，其中出现随 k 线性增长的项。因此，谱半径等于一并不足以保证所有轨迹有界。初始 q 非零时，速度正负交替且绝对值增长。

在边界附近，浮点运算和近重合特征值会使无容差的自动比较产生误导。本次运行在边界算得约 1.000000024，但这不是新的物理阈值；边界情形由解析结果决定。脚本从网格二值检查中排除此边界，将其他 299 个点与推导的不等式比较。

5. 为什么欧拉法给出不同答案

对连续闭环系统使用前向欧拉，得到 E_h=I+hA_c。本例离散极点为 1−5h ± j√75h，其模平方为 1−10h+100h²。稳定条件变为 0<h<0.1 s，仅为 ZOH 界限的一半。在 h=0.15 s 时，欧拉模型不稳定，而保持力的质量模型稳定。这并不矛盾：近似积分器与采样物理系统对应不同矩阵。

即使用 exp(A_c h) 精确离散化整个连续闭环，回答的也是另一个问题：它给出的是测量间仍持续更新反馈的系统样本。连续极点稳定，所以任意正 h 下其指数都在单位圆内。但由此断言数字控制器在任意周期下均稳定，是错误的。应先按输入保持条件离散化对象，再闭合采样反馈。

6. 一个采样周期延迟改变模型阶数

假设刚计算的指令到下一采样时刻才执行，则当前区间的力为 u_(k−1)。状态必须记住该力：y_k=[q_k,v_k,u_(k−1)]ᵀ，模型变成三阶。不能简单从频率减去一个常数或沿用此前边界，而应分析新矩阵。此处延迟恰为 h，不含抖动或分数周期延迟。

数值比较显示显著影响：h=0.1 s 时，无延迟模型谱半径约 0.707，而一个采样周期延迟使其升至约 1.441。在前一模型中稳定的选择，在后一模型中变得不稳定。这不是对真实总线或 AI 运行时的延迟测量，而是只改变一项结构假设得到的受控敏感性分析。

7. 实验、瞬态与可复现性

代码使用 Python 3.14.0 和 NumPy 2.5.3，不含随机性。网格包含从 0.001 至 0.300 s 的 300 个周期。轨迹初始条件为 q_0=0.01 m、v_0=0，模拟至三秒内最后一个采样点，h∈{0.02,0.15,0.22} s。不使用隐藏步长积分 ODE，每次更新直接采用精确映射。图形由 Matplotlib 3.11.2 生成。

不稳定情形可能达到极大位移，因为模型允许无限力和行程。这些数值不是对真实运动的预测，而是表明递推发散，局部假设很快就不再能代表机器。稳定情形仍可能有显著瞬态。谱半径决定渐近行为，不决定最大误差或最大作用力。跨周期比较谱半径也需谨慎，因为一个采样步对应的物理时间不同。

import numpy as np
m, kp, kd = 1., 100., 10.
for h in [.02, .1, .15, .18, .2, .22]:
    A = np.array([[1-h*h*kp/(2*m), h-h*h*kd/(2*m)],
                  [-h*kp/m, 1-h*kd/m]])
    print(h, max(abs(np.linalg.eigvals(A))))

8. AI 进入控制环后会改变什么

低频更新参考值的视觉模型，与直接闭合力控制环的模型并不相同。前者可把慢速规划与快速调节分离；后者中，推理延迟成为控制动力学的一部分。解释实验时必须说明 AI 模型位于何处、输出何时可用、等待期间保持什么指令。仅报告平均推理时间无法描述这一时序。

速度噪声、滤波、抖动、丢样、质量变化、饱和及接触仍待分析。例如，速度滤波能减小某些噪声成分，却引入额外状态与延迟，不能自动套用两状态公式。同样，h 变化时系统由不同矩阵的乘积描述，单独检查每个矩阵一般不能证明乘积稳定。这些是需要专门模型和实验的不同问题。

工业与协作机器人是 EL-AI 计划探索的方向。本文贡献分析方法，不把已安装机器人或硬件结果归于公司。实用结论是：明确测量、计算、执行的时序，推导表示这一时序的映射，再验证其稳定性和瞬态。错误系统的仿真再有说服力，回答的仍是错误问题。

来源、代码与编辑说明

Kamran Iqbal, Stability of Sampled-Data Systems (2023). MathWorks, Continuous-Discrete Conversion Methods.

来源查阅于 2026 年 9 月 24 日。推导与例子在 AI 辅助下为本文编写，不声称经过同行评审或认证。代码、结果与说明。JSON 数据。ImageGen 封面仅作示意，不代表 EL-AI 的真实机器或场所。