保形预测：总体 90% 覆盖率可能掩盖稀有工况的 50%

摘要：理解保证必须明确其总体

具有 90% 边际覆盖率的预测区间，并不承诺每个工况都有 90%。本文研究两种合成预测误差工况：常见且集中，以及稀有且分散程度为其六倍。混合分布分位数覆盖第一组全部情况、第二组仅一半，却仍达到总体 90%。分组校准在明确假设下可纠正差异，但组内数据少时可能产生无界区间。我们推导两种结果，并通过 2,000 次可复现校准检查。

示意背景是功率预测，误差单位 kW，并非电站测量或 EL-AI 模型成果。需要概率、累积分布及顺序统计量知识。实验假设数据独立；真实能源序列可能存在自相关与分布变化，因此不能未经条件检查就转移保证。

1. Split conformal 与正确的秩

先用独立训练数据固定预测器 f，再在 n 个新样本上计算 s_i=|y_i−f(x_i)|。排序后取第 k 项，k=ceil((n+1)(1−α))，新区间为 [f(x)−q,f(x)+q]。若 k=n+1，则 q=∞；强行取观测最大值会改变保证。n+1 修正不是软件细节，它包含新评分在校准评分中的位置。

s_i = |y_i−f(x_i)| k = ceil((n+1)(1−α)) q = s_(k) if k ≤ n; otherwise +∞ C(x) = [f(x)−q, f(x)+q]

在可交换且无同分条件下，新评分在 n+1 个值中的秩均匀分布。恰有 k 个秩被覆盖，概率为 k/(n+1)，不低于 1−α。有同分时，≤ 比较可能使覆盖更保守。该概率同时平均校准随机性与新观察，并不意味着每次固定校准都恰好覆盖 90%，或每个输入都具有该条件概率。利用校准标签训练或选择评分可能破坏证明。

n=99、α=0.10 时秩为 90，连续评分的理论边际覆盖率为 90/100。n=4 时同一目标要求第 5 秩，即无界区间；四个评分的最大值平均只能覆盖 4/5=80%。代码用整数算术计算 90% 水平，避免舍入歧义，也不使用可能偏离所需顺序统计量的通用分位数插值。

2. 错误集中于稀有组的混合分布

A 工况占 80%，绝对残差 R 在 0 至 1 kW 均匀分布；B 占 20%，R 在 0 至 6 kW 均匀分布。可构造 f=100 kW，再加幅值 R、符号随机的误差；对称区间覆盖只需研究 R。预测时已知组别，且定义在校准前固定。尺度为便于透明计算而选，并非电站估计。

F(q) = 0.8·min(q/1,1) + 0.2·min(q/6,1), q ≥ 0 F(3) = 0.8·1 + 0.2·0.5 = 0.9 P(R≤3 | A)=1; P(R≤3 | B)=0.5

总体 90% 分位数为 q=3 kW，两组区间总宽度都为 6 kW，但 A 覆盖 100%，B 仅 50%。边际保证没有失效：加权平均正好 90%。实际问题“B 工况区间多可靠”与被保证的量不同。用总体覆盖回答前者，是解释错误。

3. 重复校准并解析计算测试覆盖

我们用种子 20260924 独立抽取 2,000 组、每组 99 个残差。每组求 q，再用已知 CDF 计算总体覆盖，无需模拟百万测试点：给定抽样 q 的覆盖概率可解析得到。跨校准平均则为蒙特卡洛估计。结果总体 90.0234%、A 组 99.9559%、B 组 50.2937%。不同校准间总体覆盖率标准差约 3.04 个百分点，不是均值标准误。

4. 分组校准：收益与数据代价

将同一批 99 个残差分组，分别用 n_A、n_B 及 n_g+1 修正求分位数。在组别预先定义、组内可交换的条件下，秩证明分别适用。它保证各组内部边际覆盖，而非每个可能 x 的条件覆盖。总体极限下 q_A=0.9、q_B=5.4 kW，总宽度 1.8 与 10.8 kW，加权平均 3.6 kW。困难工况终于获得更宽区间。

校准	总体	A	B
Pooled	0.900234	0.999559	0.502937
Groupwise	0.909190	0.905667	0.923283

2,000 次合成校准的平均覆盖，虚线为 0.90。每次测试覆盖直接由已知 CDF 计算，无测试抽样。

分组模拟得到 A 90.5667%、B 92.3283%。额外覆盖与小组更粗的秩离散化一致。但三次校准中 B 少于九个观察，所需阈值为无穷，因此全部重复的平均宽度为无穷。3.66475 kW 只适用于 1,997 次有限区间重复，不能冒充总体平均。总体极限 3.6 kW 并未消除有限样本问题。

5. 限制与技术解读

不能悄悄用有限最大值替代无穷，否则失去已声明保证。已知物理响应界可限制集合，但属于必须记录的额外假设。其他选择包括增加数据、减少分组碎片化或修改覆盖目标。看过错误后才选择组别，或预测工况分类器测试时出错，都需要重新分析。工况频率变化也会改变固定统一阈值的覆盖。

Angelopoulos 与 Bates 的指南（2022 年 12 月 7 日 arXiv v6）是所读流程、诊断、分组校准和附录 D 证明的参考。本文混合分布、参数与模拟是独立教学实例，不复现作者基准。实际结论是：覆盖数字必须明确平均总体、校准方式和宽度代价。正确理解边际保证所证明的内容，它才真正有用。

Angelopoulos A. N., Bates S., A Gentle Introduction to Conformal Prediction and Distribution-Free Uncertainty Quantification, arXiv:2107.07511v6 (2022), §§1,3,4.1, Appendix D.

from math import inf
def q90(scores):
    n = len(scores)
    k = (9*(n+1)+9)//10  # ceil(0.9*(n+1)), exact integer arithmetic
    return sorted(scores)[k-1] if k <= n else inf
print(q90([1., 2., 3., 4.]))
q = 3.
print(.8*min(q,1.) + .2*min(q/6.,1.))

代码、数据与说明 · JSON. 教学计算使用 Python 3.14.0，图使用 Matplotlib 3.11.2。分析由 AI 辅助，不声称经过同行评审或人工审核。原创 ImageGen 封面仅作示意，不记录 EL-AI 人员、场所或实际安装。来源查阅于 2026 年 9 月 24 日。