El problema: llegar a la pieza sin insistir demasiado
Imaginemos un robot que lleva un componente contra una superficie de referencia durante un montaje. Su posición no se conoce perfectamente: unos milímetros de error pueden convertir un movimiento correcto en el espacio libre en un empuje indeseado. Una respuesta intuitiva es hacer el robot más flexible, permitiéndole apartarse de la posición solicitada cuando encuentra una fuerza. ¿Basta para limitar la presión sobre la pieza? Aquí estudiamos la fuerza, medida en newtons: hablar de presión exigiría conocer también el área real de contacto.
El objetivo es distinguir tres preguntas que suelen confundirse: cuánto cede el robot, qué fuerza queda cuando todo se detiene y qué fuerza máxima aparece antes. Construiremos un modelo de un eje, resolveremos su dinámica y compararemos tres ajustes. El resultado central es que una fuerza final pequeña puede coexistir con un pico considerablemente mayor; cambiar la rigidez durante el movimiento modifica además el balance energético. Son cálculos didácticos con datos sintéticos, no pruebas en un robot ni instrucciones de ajuste para una máquina real.
Antes de las fórmulas: qué significa impedancia
Un muelle opone más fuerza cuanto más se deforma. Un amortiguador opone una fuerza relacionada con la velocidad y disipa energía; la masa resiste los cambios de velocidad. El control de impedancia busca asignar una relación entre movimiento y fuerza con propiedades elegidas. Aquí programamos rigidez y amortiguación dejando fija la masa equivalente: es un caso particular, llamado a menudo control de rigidez. No hace falta un muelle físico en la muñeca: los motores pueden producir esa relación, que entonces depende también de sensores, cálculo y actuación.
La referencia histórica es el trabajo teórico de Neville Hogan de 1985 sobre la manipulación como interacción dinámica con el entorno. Las notas de Russ Tedrake distinguen el control directo de fuerza de la construcción de una respuesta mecánica deseada. Estas fuentes aportan el marco conceptual; el ejemplo siguiente se construye aquí y no reproduce sus experimentos. No presentamos el control de impedancia como descubrimiento reciente ni este artículo como investigación original.
Un eje, una superficie, signos explícitos
Situamos x = 0 en la superficie sin deformar y elegimos positivo el sentido hacia el material. x se mide en metros; una pequeña penetración representa la deformación elástica equivalente del contacto, no atravesar una pared ideal. La superficie ejerce sobre el robot −Kₑx, y el robot sobre la superficie F = Kₑx. Kₑ = 20 000 N/m es la rigidez sintética del entorno. Suponemos contacto mantenido, comportamiento lineal, ausencia de fricción axial y de amortiguación ambiental.
El control tira hacia una posición virtual δ = 0,005 m, cinco milímetros más allá de la superficie. Ese error deliberado hace visible el problema. La masa equivalente m = 2 kg es constante y no tiene por qué coincidir con la masa de todo el brazo. La rigidez comandada K se mide en N/m y la amortiguación D en N s/m. Partimos en contacto, x(0) = 0 y velocidad nula: no simulamos el impacto de aproximación. El referente se aplica al inicio y permanece fijo. La gravedad y otras dinámicas están ausentes o idealmente compensadas.
Para determinar el movimiento sumamos las fuerzas: recuperación K(δ − x), resistencia −Dẋ y reacción −Kₑx. ẋ indica velocidad y ẍ aceleración. La segunda ley de Newton da:
Todos los términos de la primera relación son fuerzas. Tanto el control como la superficie resisten el desplazamiento, por eso aparece K + Kₑ. Esa suma es decisiva: un ajuste elegido considerando solo el robot en el aire no describe automáticamente el sistema tras el contacto. La superficie entra en la ecuación aunque el software desconozca su rigidez.
La fuerza final: el coste de una referencia errónea
Empecemos por el caso más sencillo: terminado el movimiento, velocidad y aceleración son nulas. Quedan dos muelles equivalentes enfrentados. Resolviendo la ecuación obtenemos la deformación x* y la fuerza F* de equilibrio:
Con K = 200 N/m el punto se desplaza unos 0,0495 mm y la fuerza final es 0,9901 N. No alcanza los cinco milímetros solicitados: ese error de posición permite ceder. Al elevar K a 1000 N/m, manteniendo lo demás, el desplazamiento aumenta a 0,2381 mm y la fuerza a 4,7619 N. Son valores inferiores a Kδ porque la superficie también se deforma; cuando Kₑ tiende a infinito, F* tiende a Kδ. Cuando K tiende a cero, desaparece la recuperación que debía mantener el contacto.
La fórmula muestra un compromiso: reducir K atenúa el error geométrico, pero también reduce la resistencia a perturbaciones de posición. No garantiza por sí sola la fuerza exigida por un proceso. D tampoco aparece en el resultado estático: la amortiguación cambia el camino hacia el equilibrio, no su valor final en este modelo. Para saber si la pieza recibe un empuje excesivo durante ese camino debemos introducir el tiempo.
El pico: la superficie cambia la amortiguación relativa
Una masa acelerada por el muelle puede superar el punto donde se equilibran las fuerzas estáticas porque todavía tiene velocidad. El amortiguador retira energía de ese movimiento. Para comparar sistemas usamos la frecuencia natural ωₙ, en radianes por segundo, y la razón de amortiguación ζ, sin unidades. No son comandos nuevos: resumen el efecto conjunto de los parámetros anteriores.
Para 0 < ζ < 1 la respuesta a una referencia aplicada de golpe es subamortiguada: supera el valor final y oscila mientras converge. Para ζ = 1 es críticamente amortiguada y, con nuestras condiciones iniciales, sube sin sobrepasarlo. Elegir D = 2√(mK) sería crítico en el espacio libre, con Kₑ = 0. En contacto, con K = 200 N/m, da ζ ≈ 0,0995: la amortiguación no desapareció, pero es pequeña respecto a la nueva rigidez conjunta.
La tabla compara A, flexible y ajustado para espacio libre; B, igual de flexible pero con amortiguación crítica incluyendo la superficie; y C, más rígido y de nuevo ajustado para espacio libre. Los picos de A y C son máximos analíticos, no estimaciones del punto más alto del gráfico. En B se indica el límite asintótico: no existe un instante finito de pico.
| Caso | K (N/m) | D (N s/m) | ζ | F final (N) | F máxima/límite (N) |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 200 | 40.000 | 0.0995 | 0.9901 | 1.7133 |
| B | 200 | 401.995 | 1 | 0.9901 | 0.9901 |
| C | 1000 | 89.443 | 0.2182 | 4.7619 | 7.1207 |
En A, la fuerza alcanza unos 1,7133 N después de 31,42 ms, aproximadamente un 73% sobre el valor final. No hemos establecido que dañe el componente; hemos mostrado que el valor estático no es una cota superior. En C, aumentar K eleva tanto la fuerza final como el pico. B elimina el sobreimpulso en este modelo concreto, pero exige conocer Kₑ y realizar idealmente un D mucho mayor. No basta copiar ese número en un controlador real.
La derivación para quien quiera comprobarlo
Restar x* en la ecuación dinámica elimina la fuerza constante y deja un oscilador amortiguado. Sus raíces son −ζωₙ ± iωd, donde ωd = ωₙ√(1 − ζ²) e i es la unidad imaginaria. La posición y velocidad iniciales nulas fijan los coeficientes. Para el caso subamortiguado resulta:
t es el tiempo en segundos, tₚ el primer máximo y Fₚ su fuerza. El término exponencial positivo de la segunda línea mide cuánto se supera F*: se deriva x(t), se busca el primer cero de velocidad después de t = 0 y se sustituye ese tiempo. La velocidad es proporcional a exp(−ζωₙt) sin(ωdt), así que el primer cero útil es π/ωd. Para ζ = 1 se usa x(t) = x*[1 − (1 + ωₙt)exp(−ωₙt)], monótona para t no negativo. No se divide entre ωd = 0.
Energía: estabilidad no significa fuerza pequeña
Podemos comprobar por qué converge el sistema sin confundirlo con una cota de fuerza. Definimos E como la suma de la energía cinética de la masa y las energías de los dos muelles equivalentes, en julios. Con parámetros y referencia constantes, su derivada temporal es sencilla:
Para verificarlo se derivan los tres términos y se extrae ẋ: dentro queda la ecuación dinámica, igual a −Dẋ. El sistema disipa energía al moverse. Alrededor del equilibrio también puede usarse ½mẋ² + ½(K + Kₑ)(x − x*)²: difiere solo en una constante y tiene mínimo cero. Con D positivo, el equilibrio es el único estado que permanece inmóvil. Sin embargo, A y C tienen picos. Un sistema puede ser estable y disipativo mientras devuelve parte de la energía inicialmente almacenada.
La pasividad trata ese balance, no la inocuidad del contacto. Considerando solo el robot, sin el muelle ambiental, S = ½mẋ² + ½K(x − δ)² satisface dS/dt = Fₑₓₜẋ − Dẋ², donde Fₑₓₜ es la fuerza del entorno sobre el robot. El primer término es potencia intercambiada por el contacto. La identidad vale para el modelo continuo ideal con referencia fija; no certifica un robot colaborativo, no incluye límites biomecánicos ni demuestra automáticamente la misma propiedad con retardos, muestreo o saturación de motores.
Si la IA cambia la rigidez, ¿de dónde viene la energía?
Supongamos que un sistema perceptivo o una política aprendida decide endurecer el brazo tras reconocer una pieza. Es una arquitectura posible para analizar, no un producto EL-AI. Si K aumenta cuando ya existe error de posición, crece la energía del muelle virtual incluso sin movimiento. En x = 0 y δ = 5 mm, pasar de K = 200 a 1000 N/m añade 0,010 J: ½(1000 − 200) × 0,005². Esa energía no la aportó la superficie mediante desplazamiento; cambiar el control introduce otra entrada energética.
La forma general aclara el punto sin atribuir a la IA un problema común a cualquier supervisor. Si K y δ cambian mientras m y Kₑ permanecen constantes, derivar E produce dos términos adicionales:
K̇ es la velocidad de cambio de rigidez y δ̇ la del referente. Ambos términos adicionales se miden en vatios y pueden introducir energía. No significa que toda adaptación sea inestable, sino que la prueba con parámetros fijos es insuficiente. Debe analizarse también la actualización, limitar eventualmente su energía y rapidez y verificar el sistema completo. Mantener K positivo no lo resuelve por sí solo. Si cambia la masa equivalente, hacen falta otros términos no incluidos aquí.
Qué cambiaría con otra estrategia de control
El control directo de fuerza intenta regular F hacia un valor solicitado, en vez de obtener fuerza como consecuencia del error de posición. Puede servir cuando el proceso exige una carga definida, pero necesita información fiable de fuerza y gestionar la transición entre ausencia y presencia de contacto. El control de admitancia utiliza una fuerza medida para generar movimiento solicitado a un lazo interno, que añade su dinámica. No son tres nombres del mismo software ni eliminan automáticamente los picos de transición.
En una aplicación industrial primero está la tarea: mantener posición, seguir una superficie y aplicar fuerza son objetivos distintos. Una herramienta puede necesitar rigideces diferentes según la dirección, mientras aquí hay un solo eje. En un brazo real, la masa equivalente y la transformación de fuerzas en pares dependen de la postura. El interés de EL-AI por explorar robótica industrial y colaborativa hace pertinentes estas preguntas, pero no demuestra que la empresa ya haya desarrollado controladores, instalaciones o pruebas físicas.
Reproducir el resultado y reconocer lo que falta
El paquete adjunto evalúa soluciones analíticas, no integra un simulador complejo de contacto. El gráfico las muestrea cada 0,1 ms; ese intervalo solo sirve para dibujar y no representa la frecuencia de un controlador digital. El código comprueba deformación no negativa en los puntos calculados, coincidencia del pico analítico con la solución en su instante y derivada energética −Dẋ². No usa azar ni entrena modelos. Para N instantes y tres casos, el coste es O(N), igual que la memoria de las trazas; calcular solo los picos exige trabajo constante por caso.
Quedan fuera deformaciones no lineales, impactos con velocidad inicial, fricción, separación, elasticidad articular, filtros, ruido, retardos y saturaciones. Una prueba física exigiría modelo e interfaces de plataforma, frecuencia real de control, medición de fuerza calibrada, configuración del brazo y protocolo repetible. Habría que registrar transitorios y condiciones iniciales, y comprobar las restricciones aplicables con las competencias adecuadas. No comunicamos porcentajes de seguridad ni prestaciones de placas o robots que no hemos medido.
Respuesta a la pregunta inicial
Hacer el robot más flexible puede reducir la fuerza causada por un error de posición, pero no determina por sí solo la fuerza máxima de contacto. Hay que considerar conjuntamente rigidez del robot y del entorno, masa, amortiguación y condiciones iniciales. En el ejemplo, A termina por debajo de un newton pero supera 1,7 N durante el transitorio. Cambiar rigidez o referencia exige actualizar el balance energético. La matemática convierte una cualidad vaga —«el robot es flexible»— en preguntas separadas y comprobables antes de atribuir una garantía no demostrada.
Fuentes y código ejecutado
Russ Tedrake, Robotic Manipulation, Manipulator Control: Indirect force control (course notes, 2026).
Kevin M. Lynch and Frank C. Park, Modern Robotics, 11.2.2 Linear Error Dynamics (book companion).
from experiment import run
for r in run()['rows']:
print(r['case'], round(r['force_equilibrium_N'], 3),
round(r['peak_force_N'], 3), r['peak_kind'])
Código, datos e instrucciones · JSON. Cálculos didácticos ejecutados con Python 3.14.0; figuras con Matplotlib 3.11.2. Análisis asistido por IA, sin afirmar revisión por pares ni humana. Portada original ImageGen ilustrativa: no documenta personas, sedes ni instalaciones de EL-AI. Fuentes consultadas el 4 de octubre de 2026.