El peso no cuenta todo el esfuerzo
Sostener una botella cerca del cuerpo y hacerlo con el brazo extendido son experiencias distintas, aunque su masa no cambie. En un robot industrial ocurre algo parecido: la carga expresada en kilogramos no explica por sí sola cuánto deben trabajar los distintos ejes. La pregunta es concreta: ¿cómo cambia el par necesario para mantener una pieza inmóvil al cambiar la postura del brazo? Al final podremos calcularlo en un modelo sencillo y entenderemos por qué una sola cifra de carga no sustituye el análisis de la tarea.
Resumen. Desarrollamos un brazo plano de dos articulaciones, primero con eslabones sin masa y después incluyendo su peso. Deducimos los pares mediante el equilibrio de momentos y los relacionamos con la traspuesta del jacobiano a través del trabajo virtual. Con una carga sintética de 2 kg comparamos posturas, restricciones ilustrativas de par y dos configuraciones que alcanzan el mismo punto. Verificamos el resultado diferenciando numéricamente la energía potencial. Son cálculos didácticos ejecutados, no pruebas en robots, estimaciones de consumo eléctrico ni evaluaciones de seguridad.
Antes de la matriz: una fuerza y su brazo de palanca
La masa indica cuántos kilogramos tiene la carga; el peso es una fuerza. Suponemos una aceleración gravitatoria g=9,81 m/s²: una masa m=2 kg ejerce una fuerza descendente mg=19,62 newtons. El par, medido en newton metro (N m), describe la tendencia a girar alrededor de un eje. Para una fuerza vertical, el brazo útil es la distancia horizontal entre el eje y la línea de acción de la fuerza. No es, en general, toda la distancia geométrica entre articulación y pieza.
Fijamos un sistema con x horizontal e y hacia arriba. El primer eslabón mide L₁=0,4 m y el segundo L₂=0,3 m. q₁ es el ángulo del hombro respecto a la horizontal; q₂, el del codo respecto al primer eslabón. La orientación absoluta del segundo es q₁+q₂. Los ángulos positivos giran en sentido antihorario. Los cálculos trigonométricos y las derivadas utilizan radianes; las tablas muestran grados para facilitar la lectura.
Para situar la acción del peso sumamos las proyecciones de los dos eslabones. La posición de la carga puntual en el extremo es:
Con ambos ángulos nulos, el brazo está horizontal: x=0,7 m e y=0. El peso tiene un brazo de palanca de 0,7 m respecto al hombro y de 0,3 m respecto al codo. Los actuadores deben aportar 19,62×0,7=13,734 N m y 19,62×0,3=5,886 N m para equilibrarlo. Los pares no se reparten simplemente el peso: cada articulación debe equilibrar el momento de todas las fuerzas que actúan sobre los eslabones posteriores.
Del movimiento infinitesimal al par
El cálculo de palancas funciona bien aquí. Para extenderlo a fuerzas que no sean solo verticales introducimos el jacobiano J: una matriz que describe cómo pequeños cambios angulares producen pequeños desplazamientos de la punta. Cada columna indica qué ocurre al mover una sola articulación. Derivando x e y respecto a q₁ y q₂ obtenemos:
δq reúne dos variaciones angulares en radianes y δp dos desplazamientos en metros. Los coeficientes de J se expresan en metros por radián. En la postura horizontal, una pequeña rotación del hombro eleva la punta aproximadamente 0,7 veces el ángulo; la misma rotación del codo la eleva aproximadamente 0,3 veces. «Pequeña» importa: la relación es local, no calcula directamente un giro finito de sesenta grados.
Preguntemos ahora qué par corresponde a una fuerza de sostén F aplicada por el robot. Para un desplazamiento virtual, imaginado e infinitesimal, el trabajo en la punta es Fᵀδp y en los ejes es τᵀδq. El símbolo ᵀ indica trasposición y permite sumar los productos de componentes. En el modelo ideal sin pérdidas ambos trabajos coinciden. Sustituyendo δp=Jδq y exigiendo igualdad para cualquier δq obtenemos:
Aquí F es la fuerza ascendente que equilibra el peso, no el propio peso descendente: intercambiarlos cambia el signo. Cada par combina las componentes de fuerza con los desplazamientos posibles correspondientes. Para una fuerza vertical recuperamos los brazos horizontales. Lynch y Park explican la relación general en Modern Robotics, sección 5.2; nuestro desarrollo y las cifras siguientes se limitan al modelo plano declarado.
El brazo también debe sostenerse a sí mismo
El primer cálculo ignoraba la masa de los eslabones. Añadimos un primer eslabón uniforme de masa m₁=1,5 kg y un segundo de masa m₂=1 kg. Uniforme significa situar cada centro de masa a mitad de su longitud. En el codo cuenta el peso del segundo eslabón, con brazo L₂ cos(q₁+q₂)/2; en el hombro cuentan ambos. Denotamos por G los pares necesarios para sostener solo el brazo:
En la postura horizontal, G₁=8,3385 N m y G₂=1,4715 N m. Al añadir la carga obtenemos 22,0725 y 7,3575 N m. La diferencia importa: considerar solo los 13,734 N m de la pieza subestima la necesidad del hombro. Son pares a la salida de las articulaciones. No equivalen automáticamente a los del eje del motor, porque una reductora cambia relación, eficiencia y fricción. No modelamos transmisiones ni frenos.
Una postura ayuda al hombro, pero no al codo
Llevemos q₁ a 60° y q₂ a −60°. El primer eslabón sube y el segundo permanece horizontal porque la suma de ángulos es cero. La punta queda en x=0,5 m e y≈0,34641 m. El hombro tiene una palanca horizontal menor: la contribución de la carga baja a 9,81 N m y la de los eslabones a 4,905 N m, sumando 14,715 N m. El codo sigue viendo el segundo eslabón horizontal, por lo que su total permanece en 7,3575 N m.
| q₁, q₂ (°) | x, y (m) | Hombro total (N m) | Codo total (N m) |
|---|---|---|---|
| 0, 0 | 0.7, 0 | 22.0725 | 7.3575 |
| 60, −60 | 0.5, 0.34641 | 14.715 | 7.3575 |
| 90, 0 | 0, 0.7 | 0 | 0 |
| 0, 90 | 0.4, 0.3 | 14.715 | 0 |
| 73.739795, −90 | 0.4, 0.3 | 11.1834 | 7.0632 |
La tercera fila es un caso límite útil: ambos eslabones verticales y el peso alineado con los ejes. Los pares gravitatorios ideales son nulos, pero siguen transmitiéndose fuerzas por la estructura. No implica carga admisible infinita: resistencia de materiales, rodamientos, inestabilidad, desviaciones de la vertical y dinámica quedan fuera del cálculo. En el JSON, los ceros pueden aparecer alrededor de 10⁻¹⁵ por redondeo del coseno, no como un par físico medido.
Mismo punto alcanzado, distinto reparto del esfuerzo
Las dos últimas filas alcanzan (0,4; 0,3) m con el codo en posiciones distintas. La contribución de la carga al hombro es idéntica, 7,848 N m: su brazo horizontal no cambia. Sin embargo, la masa de los eslabones se distribuye de otra forma y cambia G₁. El total del hombro pasa de 14,715 a 11,1834 N m, mientras el del codo pasa de cero a 7,0632 N m. Hemos redistribuido el esfuerzo, no mejorado universalmente el robot.
La comparación restringe solo la posición de la punta. La orientación del segundo eslabón es distinta: si la tarea exige la misma orientación de herramienta, un brazo de dos ejes no satisface necesariamente esa restricción adicional. Los obstáculos y límites articulares también pueden eliminar una solución. El criterio de par debe integrarse en la planificación completa, no utilizarse como atajo aislado.
Convertir un límite de par en un límite de carga
Supongamos, únicamente para el ejemplo, límites simétricos de par de 18 N m en el hombro y 8 N m en el codo. No son especificaciones de un robot comercial. La postura horizontal con 2 kg supera el primer límite; (60°, −60°) cumple ambos en nuestro modelo estático. Para calcular una masa máxima primero hay que descontar el par que sostiene el propio brazo.
aᵢ es el brazo horizontal de la carga respecto a la articulación i, en metros. La última línea vale en nuestros dos casos, con brazos positivos y contribuciones gravitatorias concordantes; en otras posturas hay que resolver la desigualdad con valor absoluto, sin dividir ciegamente por valores negativos o nulos. En horizontal, el hombro admite unos 1,407 kg y el codo 2,218 kg: manda el menor. Con el brazo doblado, el hombro admite unos 2,670 kg, pero el codo sigue en 2,218 kg y pasa a ser el límite dominante.
El gráfico explora una familia distinta de (60°, −60°): mantiene q₂=0 y varía solo el hombro entre 0° y 90°. Leer un punto significa comparar el par requerido con la línea límite de esa articulación. El gráfico no indica que la postura esté libre de colisiones ni que el recorrido hasta ella respete los límites. Un equilibrio admisible es una condición puntual; el movimiento exige verificar también trayectoria y dinámica.
Una verificación independiente mediante la energía
Podemos comprobar signos y coeficientes por otra vía. Elevar una masa aumenta la energía potencial U=mgy. Sumamos la energía de los eslabones en sus centros de masa y la de la carga. El par de sostén es la variación de esa energía por una pequeña rotación articular. Con ∂ para la derivada respecto a una variable:
eᵢ modifica solo el ángulo i y h es el pequeño paso en radianes. El código usa h=10⁻⁶ y compara la diferencia central con los pares analíticos, exigiendo un error inferior a 10⁻⁷ N m. La comprobación pasa en las cinco posturas de la tabla y en las 91 del barrido. También verifica igualdad de potencias para una fuerza (3; 19,62) N y velocidades articulares (0,02; −0,03) rad/s. No valida hardware: comprueba numéricamente la coherencia del modelo y de la implementación.
Qué añadir antes de aplicar el resultado a un robot
El modelo supone eslabones rígidos, carga puntual, articulaciones ideales y ausencia de aceleración. Una herramienta real tiene masa y centro de masa propios; una pieza descentrada puede aplicar también un momento en la brida. El movimiento añade inercia y aceleraciones, además de fricción y contactos. Un límite de pico no equivale a un par sostenible durante un ciclo largo; nuestros límites abstractos no se convirtieron en temperaturas ni vida útil. Por tanto, no hemos obtenido una capacidad de carga certificada.
La energía exige otra distinción: un robot inmóvil tiene velocidad articular nula y, por tanto, potencia mecánica τᵀq̇ nula, aunque necesite par. No se deduce consumo eléctrico nulo. Para calcularlo harían falta motor, transmisión, control y posibles frenos. Tampoco un par gravitatorio bajo demuestra seguridad junto a personas: contacto, velocidad, parada y evaluación de la aplicación completa son problemas distintos.
Respuesta: importan la geometría y el reparto del peso
La misma pieza exige pares distintos porque cambian sus brazos de palanca y porque el robot también sostiene sus eslabones. En nuestro ejemplo, acortar la palanca del hombro reduce su carga sin cambiar la del codo; incluso alcanzar el mismo punto con otra postura redistribuye el esfuerzo. Un sistema de IA que propone agarres o trayectorias debería respetar restricciones físicas explícitas: una propuesta geométricamente plausible puede superar el par disponible. Es una posible integración de diseño, no una función de EL-AI ya realizada. El interés declarado de la empresa por la robótica industrial y colaborativa sigue siendo una dirección por explorar.
El código breve calcula las tres primeras posturas; el paquete completo añade las dos soluciones del mismo punto, límites de masa, barrido y comprobaciones energéticas. Cada postura requiere trabajo constante en este modelo de dos ejes; un barrido de n posturas cuesta O(n), con memoria O(n) al guardar resultados. No hay muestreo aleatorio y no corresponde usar semilla. La fuente siguiente respalda la relación general fuerza–par; datos, hipótesis y comparaciones numéricas son explícitamente ejemplos didácticos propios.
Bibliografía y código reproducible
Kevin M. Lynch, Frank C. Park — Modern Robotics, 5.2: Statics of Open Chains (transcript).
from math import cos, radians
g, L1, L2, m1, m2, payload = 9.81, .4, .3, 1.5, 1., 2.
for angles in [(0, 0), (60, -60), (90, 0)]:
q1, q2 = map(radians, angles)
c1, c12 = cos(q1), cos(q1 + q2)
own1 = g * (m1 * L1/2 * c1 + m2 * (L1*c1 + L2/2*c12))
own2 = g * m2 * L2/2 * c12
tau1 = own1 + payload*g*(L1*c1 + L2*c12)
tau2 = own2 + payload*g*L2*c12
print(angles, round(tau1, 4), round(tau2, 4))
Código, datos e instrucciones · JSON. Cálculos didácticos ejecutados con Python 3.14.0; figuras con Matplotlib 3.11.2. Análisis asistido por IA, sin afirmar revisión por pares ni humana. Portada original ImageGen ilustrativa: no documenta personas, sedes ni instalaciones de EL-AI. Fuentes consultadas el 3 de octubre de 2026.