El problema: llegar a tiempo no describe cómo llegamos
Un eje robotizado traslada una bandeja 20 centímetros en un segundo. Su velocidad media es 0,2 metros por segundo. Parece suficiente para comparar programas, pero oculta cómo acelera y frena el motor. Con igual distancia y duración pueden exigirse esfuerzos muy distintos. ¿Qué magnitudes debemos comprobar para que un movimiento aparentemente lento no requiera cambios demasiado bruscos?
Resumen. Construimos tres leyes de posición, derivamos velocidad, aceleración y jerk, y calculamos cuánto ampliar la duración para cumplir límites. Suavizar el arranque puede aumentar picos intermedios. Son cálculos cinemáticos con datos didácticos: no hemos medido vibraciones, fuerzas, consumo ni seguridad. Distinguiremos un perfil matemáticamente admisible de un movimiento validado en máquina.
Antes de las fórmulas: tres cambios distintos
La posición indica dónde está la bandeja; la velocidad, el cambio de posición por segundo; la aceleración, el cambio de velocidad por segundo. El jerk es la tasa de cambio de aceleración. Las unidades son metros, m/s, m/s² y m/s³. En un coche sentimos un empuje sostenido al acelerar y una sacudida cuando cambia. Es una intuición, no un modelo de la estructura robótica.
Suponemos un eje lineal, recorrido recto, reposo inicial y final y posición constante antes y después. No modelamos elasticidad, fricción, carga, control ni contactos. Separamos recorrer D=0,20 m de su calendario. Definimos u=t/T, tiempo normalizado sin unidades de cero a uno. p(u) indica la fracción recorrida. El modelo es x(t)=D p(t/T), con origen en la posición inicial.
Para entender la duración, derivamos respecto al tiempo. Cada derivada introduce 1/T. La prima indica derivación respecto a u, no velocidad física.
Con igual forma y distancia, duplicar T divide velocidades por dos, aceleraciones por cuatro y jerk por ocho. No reduce todas las exigencias a la mitad. Es una herramienta de planificación, pero no establece vibración estructural: hacen falta dinámica y mediciones. Podemos comparar formas con distancia y unidades fijas.
El cúbico: el problema está en los extremos
Pedimos p(0)=0, p(1)=1 y velocidades extremas nulas. El cúbico tiene cuatro coeficientes para cuatro condiciones. Escribimos p=b₀+b₁u+b₂u²+b₃u³. Resulta b₀=b₁=0; al final, b₂+b₃=1 y 2b₂+3b₃=0. Por tanto b₂=3, b₃=−2. La curva nace de requisitos, no de su aspecto.
Con D=0,20 m y T=1 s, la velocidad máxima es 0,300 m/s, la aceleración absoluta máxima 1,200 m/s² y el jerk interior −2,400 m/s³. No significa cumplir 5 m/s³ en todo el movimiento: la aceleración salta de cero a 1,200 al arrancar. No tiene derivada ordinaria finita; al terminar hay otro salto. Más duración reduce su amplitud, pero no lo vuelve continuo.
El quíntico: eliminar un salto tiene un precio
Añadimos aceleración nula en los extremos: seis condiciones sugieren un polinomio de quinto grado. Los primeros tres coeficientes se anulan; los demás cumplen b₃+b₄+b₅=1, 3b₃+4b₄+5b₅=0 y 6b₃+12b₄+20b₅=0. Resultan 10, −15, 6. Añadimos continuidad de aceleración con el reposo, no una promesa genérica de perfección.
El pico de p₅′ es 1,875 a mitad del tiempo. Los extremos de p₅″ cumplen p₅‴=0: u=(3±√3)/6, con máximo absoluto 10/√3. El máximo absoluto de p₅‴ es 60 en los bordes. La escala física da 0,375 m/s, 1,155 m/s² y 12,000 m/s³. La aceleración empieza en cero, pero el jerk salta de cero a 12. Ese salto finito difiere de un salto de aceleración. El jerk está acotado casi en todas partes, aunque sin valor clásico único en el empalme.
Un tercer perfil para contrastar la intuición
También imponemos jerk extremo nulo. Ocho condiciones dan un polinomio de séptimo grado. Sustituir u=0 y u=1 en las tres primeras derivadas comprueba los empalmes. Es una comparación algebraica, no un algoritmo nuevo. El programa localiza extremos mediante raíces de derivadas, no unos pocos puntos muestreados.
Los picos normalizados son 2,1875, aproximadamente 7,5132 y 52,5 para velocidad, aceleración y jerk. Resultan 0,4375 m/s, 1,5026 m/s² y 10,5 m/s³. El jerk extremo es cero, pero los picos de velocidad y aceleración superan al quíntico. Los extremos suaves dejan menos tiempo efectivo; el centro compensa. «Más suave» no precisa qué límite mejora.
| Grado | v máx (m/s) | |a| máx (m/s²) | |j| interior (m/s³) |
|---|---|---|---|
| 3 | 0.3000 | 1.2000 | 2.4000 * |
| 5 | 0.3750 | 1.1547 | 12.0000 |
| 7 | 0.4375 | 1.5026 | 10.5000 |
El asterisco importa: excluye saltos de aceleración al empalmar con reposo; no es un máximo global finito del jerk. Todas las velocidades medias siguen en 0,20 m/s. Observe primero aceleración extrema y luego picos interiores para distinguir aspecto y viabilidad.
¿Cuánto debe durar el movimiento?
Fijamos límites hipotéticos V=0,4 m/s, A=1 m/s² y J=5 m/s³, no especificaciones comerciales. M₁, M₂ y M₃ son máximos absolutos de derivadas normalizadas. Cada restricción da una duración mínima: elegimos la mayor porque cumplir dos no permite violar la tercera. Vale para forma fija y un eje, no optimiza todos los movimientos.
Los límites quínticos son 0,9375 s, 1,0746 s y 1,3389 s: domina el jerk. En grado siete son 1,0938 s, 1,2258 s y 1,2806 s: domina el jerk, con duración algo menor. No es una clasificación universal; limitar más la aceleración podría perjudicar al grado siete. El cúbico no cumple el límite global con T finito y esos empalmes: usar solo el jerk interior daría una aprobación falsa.
Pico, coste integral y vibración no son sinónimos
Otra comparación integra el jerk al cuadrado. Penaliza cambios rápidos durante todo el movimiento, no solo el peor instante. Sustituyendo j=(D/T³)p‴ y dt=T du da I=(D²/T⁵)∫₀¹[p‴(u)]² du. Las integrales exactas son 720 y 1120, que producen 28,8 y 44,8 m²/s⁵. El jerk continuo en extremos tiene mayor coste integral a igual duración.
Las unidades no son julios: no calculamos energía eléctrica ni mecánica. I tampoco mide directamente vibración. Una carga flexible responde a frecuencias y modos naturales; se necesitan rigidez, amortiguamiento y control. Un criterio útil no prueba todo: declare qué optimiza, qué limita y qué excluye.
Alternativas y paso a la máquina
Los perfiles trapezoidales son sencillos, pero los cambios instantáneos de aceleración mantienen problemas de empalme. Las curvas S organizan fases de jerk controlado, aceleración y velocidad constantes, no necesariamente iguales a nuestros polinomios. Un robot articulado requiere transformar la trayectoria cartesiana y comprobar pares, singularidades, colisiones y límites por eje. Una desigualdad escalar no sustituye ese trabajo.
El código incluye coeficientes, parámetros, versiones y resultados; sin azar no necesita semilla. Comprueba posiciones y velocidades extremas, máximos y duración. El fragmento reconstruye el quíntico: el máximo selecciona la restricción dominante. Una prueba real registraría posiciones requerida y medida, periodo de control, saturaciones, carga, error y asentamiento. El protocolo se propone, no se ha ejecutado.
Apéndice: verificar grado siete sin fiarse del gráfico
Para reconstruir los coeficientes imponemos valores extremos de p y tres derivadas. A la izquierda quedan b₄, b₅, b₆, b₇. A la derecha: b₄+b₅+b₆+b₇=1; 4b₄+5b₅+6b₆+7b₇=0; 12b₄+20b₅+30b₆+42b₇=0; 24b₄+60b₅+120b₆+210b₇=0. Resultan 35, −84, 70, −20. Cada ecuación expresa posición final, parada, aceleración nula y jerk nulo.
¿Por qué raíces? Un extremo interior de una función derivable tiene derivada nula. El programa evalúa bordes y raíces reales interiores de la derivada siguiente y toma el mayor valor absoluto. La velocidad de grado siete alcanza su máximo en u=1/2; los extremos no nulos de aceleración están en u=(5±√5)/10. Es más sólido que una malla gruesa que omita picos. Persisten aritmética flotante y tolerancias explícitas: no es una prueba formal verificada automáticamente.
Qué hemos aprendido
Mover la bandeja exige más que dividir distancia por tiempo. Hay que comprobar empalmes, picos y duración frente a todos los límites. Un segundo no basta para los perfiles regulares: hacen falta aproximadamente 1,339 y 1,281 segundos. Responde a una pregunta cinemática, no certifica una máquina. La robótica industrial y colaborativa es una dirección que EL-AI quiere explorar; no se documenta un robot, instalación o experimento empresarial propio.
Fuentes y alcance
La referencia es el capítulo 9 de Lynch y Park, Modern Robotics, edición de 2017, preprint actualizado el 30 de diciembre de 2019, secciones 9.2.2.1–9.2.2.3, y su explicación docente. El recorrido, límites y comparación de grado siete son análisis didáctico reproducible, no experimentos del libro ni investigación original revisada.
Lynch & Park — Modern Robotics, chapter 9 (2019 updated preprint).
Lynch & Park — Point-to-Point Trajectories, Part 2.
from math import sqrt
D, V, A, J = 0.2, 0.4, 1.0, 5.0
bounds = (1.875*D/V, sqrt((10/sqrt(3))*D/A), (60*D/J)**(1/3))
print("quintic duration bounds (s):", bounds)
print("minimum within this family (s):", max(bounds))
# Kinematic calculation, not a hardware measurement.
Código, datos e instrucciones · JSON. Cálculos didácticos ejecutados con Python 3.14.0; figuras con Matplotlib 3.11.2. Análisis asistido por IA, sin afirmar revisión por pares ni humana. Portada original ImageGen ilustrativa: no documenta personas, sedes ni instalaciones de EL-AI. Fuentes consultadas el 28 de septiembre de 2026.