让机器人平稳运动：为什么平均速度还不够

问题：按时到达并不能描述运动过程

机器人直线轴在一秒内把托盘移动20厘米，平均速度为每秒0.2米。这似乎足以比较两个程序，却没有说明电机如何加速和减速。同样距离和时长可能对应完全不同的要求。应该检查哪些量，才能避免看似缓慢的运动要求过于突然的变化？

摘要。构造三种位置规律，推导速度、加速度和加加速度，再计算满足给定限制需要延长多少时间。起步更平滑可能意味着中途某些峰值更高。数字来自教学参数下的运动学计算，未测量机器人的振动、力、能耗或安全性。目标是区分数学上可接受的轨迹与经过设备验证的运动。

公式之前：三种变化

位置表示托盘在哪里，速度表示位置每秒改变多少，加速度表示速度每秒改变多少。Jerk称为加加速度，表示加速度的变化率。单位依次为米、m/s、m/s²和m/s³。坐车时持续加速产生推背感，推力突然变化则带来顿挫。这有助于建立直觉，但不能代替机器人结构模型。

假设单直线轴、直线路径、起终点静止，运动前后位置不变。不建模弹性、摩擦、负载、控制或接触。把移动D=0.20 m的几何问题与时间安排分开。无量纲时间u=t/T从0到1，p(u)表示已完成路程比例。以起点为原点，模型为x(t)=D p(t/T)。

为理解时长影响，对时间求导，每次引入1/T。撇号表示对u求导，不是物理速度。

形状和距离相同，T加倍使速度减半、加速度变为四分之一、加加速度变为八分之一。并非所有要求都减半。这是规划手段，却不能证明振动有多大，后者需要动力学与测量。现在可以在固定距离和单位下比较曲线。

三次曲线：问题藏在边界

要求p(0)=0、p(1)=1且两端速度为零。三次多项式有四个系数，对应四个条件。令p=b₀+b₁u+b₂u²+b₃u³，初始条件给出b₀=b₁=0，终点条件给出b₂+b₃=1和2b₂+3b₃=0，解得b₂=3、b₃=−2。曲线来自运动约束，不是外观选择。

D=0.20 m、T=1 s时，速度峰值0.300 m/s，加速度绝对值峰值1.200 m/s²，内部加加速度−2.400 m/s³。这不表示整体满足5 m/s³限制：起步时加速度从零跳到1.200，跳变没有有限的普通导数，结束时也有跳变。延长时间可减小幅度，却不能使其连续。

五次曲线：消除跳变也有代价

再要求两端加速度为零，共六个条件，因此选用五次多项式。前三个系数为零，其余满足b₃+b₄+b₅=1、3b₃+4b₄+5b₅=0、6b₃+12b₄+20b₅=0，解为10、−15、6。增加的是加速度与静止阶段连续衔接这一明确性质，而非保证运动完美。

p₅′在时间中点达到1.875。令p₅‴=0得加速度极值位置u=(3±√3)/6，最大绝对值为10/√3。p₅‴绝对值在边界最大，为60。物理量分别为0.375 m/s、1.155 m/s²和12.000 m/s³。起步加速度为零，加加速度却从零跳到12。这种有限加加速度跳变不同于加速度跳变：它几乎处处有界，但衔接瞬间没有唯一经典导数值。

第三条曲线：检验直觉

再要求两端加加速度为零，八个条件给出七次多项式。把u=0和u=1代入前三阶导数即可检查衔接。这是代数比较，不是新算法。程序通过导数的根找极值，而非在少量采样点中取最大值。

归一化速度、加速度、加加速度峰值分别为2.1875、约7.5132、52.5。物理峰值为0.4375 m/s、1.5026 m/s²、10.5 m/s³。边界加加速度为零，但速度与加速度峰值高于五次曲线。两端更温和意味着完成相同距离的有效时间更少，中段必须补偿。“更平滑”并未说明哪个限制得到改善。

星号很重要：三次曲线数值排除了衔接静止状态时的加速度跳变，不是全局有限加加速度峰值。三者平均速度仍为0.20 m/s。先看边界加速度，再看内部峰值，才能区分外观平滑与设备可行性。

运动应该持续多久？

设假想限制V=0.4 m/s、A=1 m/s²、J=5 m/s³，不是产品规格。M₁、M₂、M₃是归一化导数的绝对值最大值。各约束给出最短时长，取最大者，因为满足两个不能抵消第三个违规。这针对固定形状和单轴，不是所有运动的全局优化。

五次曲线的界为0.9375 s、1.0746 s、1.3389 s，由加加速度决定。七次曲线为1.0938 s、1.2258 s、1.2806 s，仍由加加速度决定，所需时长略短。这不是通用排名，收紧加速度限制可能使七次曲线不利。保留原有衔接时，三次曲线无法以有限T满足全局加加速度限制，仅用内部值会错误放行。

峰值、积分代价和振动不是同义词

另一种比较是对加加速度平方随时间积分。这一数学代价惩罚整个过程中的快速变化，而非仅最坏瞬间。代入j=(D/T³)p‴和dt=T du得I=(D²/T⁵)∫₀¹[p‴(u)]² du。多项式精确积分分别为720和1120，本例结果为28.8和44.8 m²/s⁵。同样时长下，边界加加速度连续的曲线反而有更高积分代价。

单位不是焦耳，我们没有计算电能或机械能，I也不是直接振动测量。柔性负载响应指令频率及自身模态，估计它需要刚度、阻尼和控制。指标有用不代表能证明一切，必须说明优化性质、约束和未考虑现象。

替代方案与设备验证

梯形速度曲线简单，但瞬时加速度变化仍有衔接问题。S形曲线组合受控加加速度、恒加速度和恒速度阶段，并不一定等于本文多项式。多关节机器人还需把笛卡尔轨迹映射为关节运动，检查力矩、奇异位形、碰撞和各轴限制。一个标量不等式不能代替这些工作。

代码含系数、参数、版本和结果，无随机性所以无需种子。检查边界位置与速度、极值及时长。文末片段重建五次情形，取最大值选择主导约束。实际试验应记录目标与实测位置、控制周期、饱和、负载、跟踪误差和稳定时间。这是建议方案，尚未执行。

附录：不依赖图形检查七次曲线

重建七次系数时，对p及前三阶导数施加边界条件。左端只留下b₄、b₅、b₆、b₇。右端四式为b₄+b₅+b₆+b₇=1；4b₄+5b₅+6b₆+7b₇=0；12b₄+20b₅+30b₆+42b₇=0；24b₄+60b₅+120b₆+210b₇=0，解为35、−84、70、−20，分别体现终点位置、停止、零加速度和零加加速度。

为什么求根？可微函数的内部极值处导数为零。程序计算边界及下一阶导数的全部内部实根，再取绝对值最大者。七次曲线速度在u=1/2最大，非零加速度极值位于u=(5±√5)/10，比可能遗漏峰值的粗网格更可靠。但仍使用浮点运算和代码中明确的容差，并非经自动形式化系统验证的证明。

我们得到了什么结论

移动托盘不能只把距离除以时间。还要检查加速度、加加速度与静止的衔接、峰值和全部限制下的时长。本例两种较规则曲线需要约1.339和1.281秒，一秒不够。这回答运动学问题，不是设备认证。工业与协作机器人是EL-AI希望探索的方向，本文不代表已有EL-AI机器人、安装项目或企业实验成果。

来源与分析定位

参考Lynch和Park的《Modern Robotics》第9章，2017年第一版、2019年12月30日更新预印本，第9.2.2.1至9.2.2.3节及作者教学说明。20厘米行程、限制和七次比较是可复现教学分析，不是书中实验或经同行评审的原创研究。

Lynch & Park — Modern Robotics, chapter 9 (2019 updated preprint).

Lynch & Park — Point-to-Point Trajectories, Part 2.

from math import sqrt
D, V, A, J = 0.2, 0.4, 1.0, 5.0
bounds = (1.875*D/V, sqrt((10/sqrt(3))*D/A), (60*D/J)**(1/3))
print("quintic duration bounds (s):", bounds)
print("minimum within this family (s):", max(bounds))
# Kinematic calculation, not a hardware measurement.

代码、数据与说明 · JSON. 教学计算使用 Python 3.14.0，图使用 Matplotlib 3.11.2。分析由 AI 辅助，不声称经过同行评审或人工审核。原创 ImageGen 封面仅作示意，不记录 EL-AI 人员、场所或实际安装。来源查阅于 2026 年 9 月 28 日。